Axiomas de un espacio vectorial

El enfoque axiomático es fundamental para definir objetos matemáticos ya que nos ayudan a determinar si se cumplen o no ciertas propiedades. Decimos que un conjunto de objetos matemáticos V, junto con dos operaciones \oplus y \odot (que llamamos la suma vectorial y la multiplicación de un escalar¹ por un vector, respectivamente) forman un espacio vectorial, si se cumplen los diez axiomas siguientes:

  1. [cerradura bajo la suma de vectores] \forall x,y \in V, se cumple x \oplus y \in V
  2. [asociatividad de la suma de vectores] \forall x,y,z \in V, se cumple (x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)
  3. [elemento identidad de la suma de vectores] \exists 0 \in V tal que 0 \oplus x = x \oplus 0 = x
  4. [elemento inverso aditivo] Si x \in V, \exists \; -x \in V tal que x + (-x) = 0
  5. [conmutatividad de la suma de vectores] \forall x,y \in V, se cumple x \oplus y = y \oplus x
  6. [cerradura bajo la multiplicación por escalar] Si x \in V, y \alpha es un escalar, entonces \alpha \odot x \in V.
  7. [primera ley distributiva] Si x,y \in V y \alpha un escalar, entonces \alpha \odot (x \oplus y)=(\alpha \odot x) \oplus (\alpha \odot y)
  8. [segunda ley distributiva] Si x \in V y \alpha, \beta son escalares, entonces (\alpha + \beta) \odot x = (\alpha \odot x) \oplus (\beta \odot x)
  9. [asociatividad de multiplicación por escalares] Si x \in V y \alpha, \beta son escalares, entonces \alpha (\beta \odot x) = (\alpha \beta) \odot x
  10. [identidad de multiplicación por escalar] Para cada vector x \in V, se cumple 1 \odot x = x

La belleza de estos axiomas es que permiten identificar como espacios vectoriales las estructuras (V, \oplus, \odot) más inesperadas. Se le invita a revisar el excelente artículo Espacio vectorial [ en Wikipedia].

Para ejemplos de diferentes espacios vectoriales (incluyendo demostraciones breves) recomendamos la página de William L. Perry sobre Vector Spaces. Si desea una mayor cobertura de temas, recomendamos el capítulo Vector Spaces de James Nearing.

Compartimos el archivo de GeoGebra vectoressyp.ggb [que por cierto está estrenando la versión 4.0.8], en el que pueden interactuar para visualizar la suma de vectores y producto de escalar con vector, para el caso de \mathbb{R}^2.

Nota: ¹Al conjunto del que se obtienen los escalares le llamamos campo (o cuerpo) [ver artículo Cuerpo (matemáticas) en Wikipedia]. Entre los campos principales se tienen los reales \mathbb{R} y los complejos \mathbb{C} (además de los campos finitos). Como nota adicional, los campos y sus extensiones son claves para entender la famosa Teoría de Galois.