EDL con coeficientes constantes: dos ejemplos

Compartimos dos ejemplos de EDL con coeficientes constantes. Como ejercicio sugerimos (a) visualizar las soluciones en GeoGebra, (b) Proponer un problema de aplicación [1] que pudiera dar origen  a dichas ecuaciones. Gracias.

[rev. 2015.03.24]

(1) Resolver el PVI de la ED homogénea:

4y''+5y=0, y(0)=1, y'(0)=-2

Solución:

  • La ecuación característica (o auxiliar) es 4m^2+5=0, por tanto las raíces son \pm \frac{\sqrt{5}}{2}i
  • Tenemos entonces la solución por el caso III, con \alpha =0 y \beta =\frac{\sqrt{5}}{2}
  • Por tanto y(x)=c_1 cos{\frac{\sqrt{5}}{2}x}+c_2 sen{\frac{\sqrt{5}}{2}x}.
  • Para el PVI calculamos y'(x)=-\frac{\sqrt{5}}{2} c_1 sen{\frac{\sqrt{5}}{2}x}+\frac{\sqrt{5}}{2} c_2 cos{\frac{\sqrt{5}}{2}x}.
  • Aplicando entonces y(0)=1 obtenemos 1=c_1 es decir c_1=1
  • con y'(0)=-2 obtenemos -2=\frac{\sqrt{5}}{2} c_2 es decir c_2=-\frac{4}{\sqrt{5}}.
  • En conclusión la solución al PVI es: y(x)=cos{\frac{\sqrt{5}}{2}x}-\frac{4}{\sqrt{5}} sen{\frac{\sqrt{5}}{2}}x.

(2) Encontrar la solución general de la ED no homogénea de coeficientes constantes:

y''-10y'+25y=-cos3x

Sabiendo que y_c(x)=c_1 e^{5x}+c_2 x e^{5x}.

Solución:

  • Aquí se propone y_p(x)=A cos3x + B sen3x
  • Obtenemos las derivadas para posteriormente (por el método de coeficientes indeterminados)  obtener la solución:
  • y'_p(x)=-3A sen3x + 3B cos3x
  • y''_p(x)=-9A cos3x - 9B sen3x
  • Desarrollando ahora y''_p-10y'_p+25y_p=-cos3x e igualando los coeficientes de cos3x y sen3x respectivamente, obtenemos:
  • y''-10y'+25y=(-9A-30B+25A)cos3x+(-9B+30A+25B)sen3x
  • Por lo cual -9A-30B+25A=-1 y -9B+30A+25B=0
  • Lo que se reduce a 16A-30B=-1 y 30A+16B=0.
  • Después por eliminación o sustitución, obtenemos: A=-\frac{4}{289} y B=\frac{15}{578}
  • Y por tanto, la solución general buscada es:
  • y(x)=c_1 e^{5x}+c_2 x e^{5x}-\frac{4}{289}cos3x+\frac{15}{578}sen3x.