Intersección de planos

Consideremos el problema de encontrar la intersección de dos planos dados \pi_1: (Q_1, \vec{n}_1)\pi_2: (Q_2, \vec{n}_2), asumiendo que existe dicha intersección.

Recordemos que dado un plano \pi: (P_0, \vec{n}) donde P_0=(x_0,y_0,z_0) es un punto sobre \pi y \vec{n}=<a,b,c> es un vector normal a dicho plano, podemos obtener su representación canónica mediante la ecuación:

    \[a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\]

Con el procedimiento anterior se obtienen los coeficientes de las ecuaciones equivalentes a \pi_1 y \pi_2 como:

    \[\pi_1: A_1 x + B_1 y + C_1 z = D_1\]

    \[\pi_2: A_2 x + B_2 y + C_2 z = D_2\]

(ver [1]) que al ser resueltas en forma simultánea, nos darían la ecuación paramétrica de una recta correspondiente a la intersección. Es decir S_t = \{( f(t),g(t),h(t) )\; : t \in \mathbb{R} \}.

Sugerencia. Siempre que el coeficiente de z para la ecuación de la recta lo permita, favor de utilizar z como el parámetro t, es decir z=t (lo que equivale a: h(t)=t) para luego obtener g(t) y f(t) sucesivamente. Asumiendo que antes eliminamos la variable x del sistema de ecuaciones.

Ejercicio:  Verificar que si

    \[\pi_1: x -y+2z=0\]

    \[\pi_2: x-z=2\]

entonces S_t = \{2+t,2+3t,t) \} (considerando que aplicamos z=t)