Solución de un PVI mediante Laplace

Posted on 2011/11/11 by matematikaizen

Problema de Valor Inicial: $y''-6y'+9y=t$ , $y(0)=0$ , $y'(0)=1$ (ver #25, p. 219 Zill 9/e)

Solución mediante transformada de Laplace [ver artículo en Wikipedia]:

Por las propiedades de linealidad: $\mathcal{L}\{y''\}-6\mathcal{L}\{y'\}+9Y(s)=\frac{1}{s^2}$
Por la transformada de Laplace de derivadas: $s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)-6\left[ sY(s)-y(0)\right] +9Y(s)=\frac{1}{s^2}$
Aplicamos las condiciones iniciales: $Y(s)\left[ s^2-6S+9\right] -1=\frac{1}{s^2}$
De donde $Y(s)=\frac{1+1/s^2}{s^2-6S+9}=\frac{s^2+1}{s^2(s-3)^2}$
Descomponemos en fracciones parciales: $Y(s)=\frac{As+B}{s^2}+\frac{C}{s-3}+\frac{D}{\left( s-3 \right) ^2}$
Por lo cual: $s^2+1=\left( As+B \right) \left( s-3 \right) ^2+Cs^2 \left( s-3 \right) +Ds^2$
Para $s=0$ obtenemos: $1=9B$ de donde $B=\frac{1}{9}$
Para $s=3$ obtenemos: $10=9D$ por lo cual $D=\frac{10}{9}$
Con $s=1$ y $s=-1$ obtenemos dos ecuaciones $\frac{1}{9}=A-\frac{1}{2}C$ y $-\frac{1}{18}=-A-\frac{1}{4}C$ las cuales resolvemos fácilmente por eliminación, para obtener: $C=-\frac{2}{27}$ y $A=\frac{2}{27}$
Por lo anterior $Y(s)=\left( \frac{2}{27}s+\frac{1}{9}\right)\frac{1}{s^2}-\frac{2}{27}\frac{1}{s-3}+\frac{10}{9}\frac{1}{\left( s-3 \right)^2}$
Y entonces $\mathcal{L}^{-1} \{ Y(s) \} =\frac{2}{27}\mathcal{L}^{-1} \{ \frac{1}{s} \} +\frac{1}{9}\mathcal{L}^{-1} \{ \frac{1}{s^2}\} -\frac{2}{27}\mathcal{L}^{-1} \{ \frac{1}{s} \| _{s \to s-3} \} \\ \quad+\frac{10}{9}\mathcal{L}^{-1} \{ \frac{1}{s^2} \| _{s \to s-3} \}$
Por lo cual: $y(t)=\frac{2}{27}\cdot 1+\frac{1}{9}\cdot t-\frac{2}{27}e^{3t}\cdot 1+\frac{10}{9}e^{3t}\cdot t$
Que reescribimos como: $y(t)=\frac{2}{27}+\frac{t}{9}-\frac{2}{27}e^{3t}+\frac{10}{9}te^{3t}$

Se recomienda reconstruir a mano por su cuenta los pasos anteriores, después utilizar WxMaxima para ejercitarse con dicha herramienta (y automatizar parte del proceso) para finalmente visualizar en GeoGebra que la solución cumple con el PVI dado.

Regla compuesta de Simpson

Posted on 2011/11/10 by matematikaizen

Para aproximar la integral definida $\int_a^b f(x)dx$ , uno de los métodos clásicos, aunque no el más eficiente, es la regla compuesta de Simpson (ver el artículo Regla de Simpson, en Wikipedia). Si dividimos un intervalo $[a,b]$ en un número par de subintervalos $n$ , podemos definir $h=\frac{b-a}{n}$ y $x_i=a+ih$ , para luego aplicar la fórmula:

$\int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{3}[f(a)+f(b)+2 \displaystyle\sum_{j=1}^{\frac{n}{2}-1} f(x_{2j})+4 \displaystyle\sum_{j=1}^{n/2} f(x_{2j-1})]$

la cual nos aproxima la integral con un error máximo igual a

$(b-a)\frac{h^4}{180}max_{a\leq \gamma \leq b} | f^{(4)}(\gamma)| \quad (*)$

Compartimos los archivos simpson.scm y simpsonplot.rkt (para DrRacket) que incluyen una implementación básica de esta regla. En la implementación, note que si se entrega $h$ como parámetro, entonces podemos determinar el valor de $n$ como sigue: Sea $m=\lceil \frac{b-a}{h} \rceil$ . Si $m$ es par, entonces $n:=m$ en otro caso $n:=m+1$ .

Consideremos la integral $\int_0^5 t cos^2(t) \sqrt{1+t^2}dt$

Como ejemplo del código Scheme, podemos aproximar dicha integral por la regla compuesta de Simpson para diferentes valores de $h$ , como sigue:

>(map (lambda(h)
       (simpson (lambda(t)
                  (* t (expt (cos t) 2)
                     (sqrt (+ 1 (* t t)))))
                0 5 h))
     '(0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001))

(17.423338274907277
17.423337562707726
17.423337562644544
17.42333756264443
17.423337562644658)

La siguiente gráfica nos permite visualizar que el reducir el valor de $h$ en general reduce el error, sin embargo, debemos tener presente, que el error máximo depende también del valor máximo de $f^{(4)}$ en el intervalo bajo integración.

Nota: Para algunas aplicaciones, podemos combinar de forma efectiva los métodos de derivación e integración numérica. Para tal fin, compartimos como referencia los archivos derivaciones.scm y derivacionesplot.rkt. Mucho éxito en sus matemáticas experimentales.

Axiomas de un espacio vectorial

Posted on 2011/11/08 by matematikaizen

El enfoque axiomático es fundamental para definir objetos matemáticos ya que nos ayudan a determinar si se cumplen o no ciertas propiedades. Decimos que un conjunto de objetos matemáticos $V$ , junto con dos operaciones $\oplus$ y $\odot$ (que llamamos la suma vectorial y la multiplicación de un escalar¹ por un vector, respectivamente) forman un espacio vectorial, si se cumplen los diez axiomas siguientes:

[cerradura bajo la suma de vectores] $\forall x,y \in V$ , se cumple $x \oplus y \in V$
[asociatividad de la suma de vectores] $\forall x,y,z \in V$ , se cumple $(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)$
[elemento identidad de la suma de vectores] $\exists 0 \in V$ tal que $0 \oplus x = x \oplus 0 = x$
[elemento inverso aditivo] Si $x \in V$ , $\exists \; -x \in V$ tal que $x + (-x) = 0$
[conmutatividad de la suma de vectores] $\forall x,y \in V$ , se cumple $x \oplus y = y \oplus x$
[cerradura bajo la multiplicación por escalar] Si $x \in V$ , y $\alpha$ es un escalar, entonces $\alpha \odot x \in V$ .
[primera ley distributiva] Si $x,y \in V$ y $\alpha$ un escalar, entonces $\alpha \odot (x \oplus y)=(\alpha \odot x) \oplus (\alpha \odot y)$
[segunda ley distributiva] Si $x \in V$ y $\alpha, \beta$ son escalares, entonces $(\alpha + \beta) \odot x = (\alpha \odot x) \oplus (\beta \odot x)$
[asociatividad de multiplicación por escalares] Si $x \in V$ y $\alpha, \beta$ son escalares, entonces $\alpha (\beta \odot x) = (\alpha \beta) \odot x$
[identidad de multiplicación por escalar] Para cada vector $x \in V$ , se cumple $1 \odot x = x$

La belleza de estos axiomas es permiten identificar como espacios vectoriales las estructuras $(V, \oplus, \odot)$ más inesperadas. Se le invita a revisar el excelente artículo Espacio vectorial [ en Wikipedia].

Compartimos el archivo de GeoGebra vectoressyp.ggb [que por cierto está estrenando la versión 4.0.8], en el que pueden interactuar para visualizar la suma de vectores y producto de escalar con vector, para el caso de $\mathbb{R}^2$ .

Nota: ¹Al conjunto del que se obtienen los escalares le llamamos campo (o cuerpo) [ver artículo Cuerpo (matemáticas) en Wikipedia]. Entre los campos principales se tienen los reales $\mathbb{R}$ y los complejos $\mathbb{C}$ (además de los campos finitos). Como nota adicional, los campos y sus extensiones son claves para entender la famosa Teoría de Galois.

Función escalón unitario

Posted on 2011/11/08 by matematikaizen

La función escalón unitario $U(x-a)$ , llamada también función de Heaviside, nos permite activar o desactivar cierta funcionalidad en términos de un parámetro $a$ . Entre otras cosas, ayuda a definir directamente una función definida a tramos. Como referencia le invitamos a explorar el artículo Heaviside step function [Wikipedia].

Compartimos el archivo eunitario.ggb [para GeoGebra] que ayuda a visualizar su efecto al combinarlo con diversas funciones.

Sugerencia: en el archivo de GeoGebra, active sucesivamente las funciones p(x), q(x), r(x) y s(x) para ir visualizando el efecto de las funciones escalón unitario, $U(x-a)$ y $U(x-b)$ , en forma individual y en combinación.

Polinomio interpolador de Lagrange

Posted on 2011/11/07 by matematikaizen

El polinomio interpolador de Lagrange, nos permite construir una función polinomial de grado $n$ garantizando que dicha función pasará por los puntos $(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1),\cdots ,(x_n,f(x_n))$ . Para la definición y más detalles, le invitamos a revisar el artículo Interpolación polinómica de Lagrange [Wikipedia]

Compartimos los archivos lagrange.scm y lagrangeplot.rkt (archivo para DrRacket, ver [1]) donde encontrarán ejemplos de uso, entre ellos:

>(poli-lagrange '(2 5/2 4) '(1/2 2/5 1/4))

El resultado previo indica que el polinomio interpolador asociado a los puntos $(2,1/2), (5/2,2/5),(4,1/4)$ es: $p(x)=\frac{1}{20}x^2 -\frac{17}{40}x+1 \frac{3}{20}$ .

Las instrucciones siguientes ilustran la forma de graficar en Scheme (incluyendo Plot), el polinomio interpolador de Lagrange asociado a otro conjunto de puntos:

>(plot (line (lagrangef '(-3 -1 0 2 3) '(1 2 1 -2 -1)))
 #:title "(lagrangef '(-3 -1 0 2 3) '(1 2 1 -2 -1))")

Mucho éxito en sus exploraciones matemáticas

Nota [1]. Los archivos lagrange.scm y lagrangeplot.rkt son casi idénticos, excepto que langrangeplot.rkt corre bajo DrRacket e incluye la funcionalidad de graficación elemental con plot. El primer archivo lagrange.scm, es compatible con R5RS (en un futuro próximo, esperamos realizarlo bajo el estándar R7RS). Gracias

Bienvenidos

Posted on 2011/10/02 by matematikaizen

Bienvenidos a Matikai: matemáticas en pequeñas porciones para reflexionar y disfrutar. Aquí podrán encontrar conceptos, herramientas, teoremas, demostraciones, algoritmos, implementaciones, problemas y sus soluciones, así como algunos poemas e ideas contextuales.

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