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Mnemónico para la Inversa de una matrix orden 3×3.

Compartimos una sencilla técnica mnemónica para el cálculo de la inversa de una matriz de orden 3×3, publicada en laRevista SAHUARUS, del Departamento de Matemáticas, Universidad de Sonora. México. Esperamos les sea de utilidad, principalmente en contextos de cálculo manual o simbólico.  

Favor de activdar el link de la imagen para acceder al artículo. Gracias.

Puede acceder al artículo, haciendo click sobre la imagen, o bien en este Link de preprint.

Extendemos una felicitación a los editores de la revista, por tan excelente labor de divulgación y comunicación matemática, y por mantener libre acceso a todos sus artículos. Se le invita también a explorar los demás artículos de la revista, así como los contenidos del número más reciente.

Mucho éxito en sus exploraciones matemáticas.

Quiz de transformaciones lineales (nivel 1)

Quiz AL5 nivel 1

Se le invita a ejercitarse en este importante tema, resolviendo los siguientes problemas:
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{Hecho con mTouch Quiz}

Transformaciones lineales y GeoGebra

 Una transformación lineal T: V \rightarrow W del espacio vectorial V con operaciones (+,\cdot) al espacio vectorial W con operaciones (\oplus, \otimes ), es una función que cumple para todo \mathbf{u},\;\mathbf{v} \in V, las siguientes dos propiedades:

  1. T(\mathbf{u}+ \mathbf{v})=T(\mathbf{u}) \oplus T(\mathbf{v})
  2. T(\alpha \cdot \mathbf{v})=\alpha \otimes T(\mathbf{v})

Observación: cuando las operaciones son estándares, utilizamos por convención la notación sencilla de + y \cdot\;\; para la suma de vectores y multiplicación escalar por vector respectivamente, en otros casos es necesario definir claramente las cuatro operaciones implicadas.

Ejemplo: Consideremos a T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 definida por:

    \[ T(x,y)=(x+ay,y) \]

para un valor arbitrario a \in \mathbb{R}. Veamos si cumple las dos condiciones mencionadas:

  1.     \begin{align*} T((x_1,y_1)+(x_2,y_2)) &= T(x_1+x_2,y_1+y_2)  \\ &= (x_1+x_2 + a(y_1+y_2),y_1+y_2) \\ &=(x_1+a y_1 + x_2 + a y_2, y_1 + y_2) \\ &=( x_1+a y_1, y_1) + (x_2 + a y_2, y_2) \\ &= T(x_1,y_1 ) + T(x_2,y_2) \end{align*}

  2.     \begin{align*} T(\alpha (x,y)) &=T(\alpha x, \alpha y) \\ &= (\alpha x + a \alpha y, \alpha y) \\ &= \alpha (x + a y, y) \\ &= \alpha T(x,y) \end{align*}

Ya que cumple ambas propiedades, la transformación T anterior es lineal.

Una forma equivalente de aplicar una transformación T es mediante su matriz de trasformación A_T, que en este caso es: \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, es decir:

    \[ \begin{pmatrix} x+ay \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]

Compartimos el archivo shear1.ggb (de GeoGebra) que ilustra la transformación lineal “shear” (corte) a lo largo del eje-x.

Ejemplo de “shear” en el eje-x

Para el caso de \mathbb{R}^2, se le invita a explorar en GeoGebra las diferentes transformaciones disponibles en su versión 4.0 : desliza, refleja, rota, corte [homotecia], estira y traslada (en ingl. dilate, reflect, rotate, shear, stretch, translate). Felicitamos a los desarrolladores de GeoGebra, por tan excelente producto.

Cambio de base en la representación de un vector

Supongamos que tenemos el vector \mathbf{u}_w=\binom{2}{2} representado en la base B_1=\{ \mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2\} donde \mathbf{w}_1 = \binom{1}{0} y \mathbf{w}_2 = \binom{0}{1}. Para representar dicho vector \mathbf{u}_w en una nueva base, por ejemplo B_2=\{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\} donde \mathbf{v}_1 = \binom{-1}{-1} y \mathbf{v}_2 = \binom{-1}{1}, lo que hacemos es crear una matriz de transición T cuyas columnas corresponden a la representación de los vectores de la base B_1 en términos de la nueva base B_2. Es decir, determinamos \alpha_1, \beta_1, \alpha_2, \beta_2 tal que:

\mathbf{w}_1 = \alpha_1 \mathbf{v}_1 + \beta_1 \mathbf{v}_2

\mathbf{w}_2 = \alpha_2 \mathbf{v}_1 + \beta_2 \mathbf{v}_2

En este caso (resolviendo los sistemas lineales resultantes) obtenemos: \alpha_1 = -\frac{1}{2}, \beta_1 = -\frac{1}{2}, \alpha_2 = -\frac{1}{2} y \beta_2 = \frac{1}{2}, es decir: T=\binom{\alpha_1 \quad \alpha_2}{\beta_1 \quad \beta_2}=\binom{-0.5 \quad -0.5}{-0.5 \quad 0.5}. Puede argumentarse formalmente también que T=(\mathbf{w}_1 \quad \mathbf{w}_2)^{-1}(\mathbf{v}_1\quad \mathbf{v}_2).

Para obtener la nueva representación, sencillamente hacemos el producto T \mathbf{u}_w para obtener \mathbf{u}_v=\binom{-2}{0}.

Compartimos el archivo transicion.ggb (de GeoGebra) para experimentar en 2D este tipo de conversión.

Figura generada por transicion.ggb

Bases y conjunto de soluciones para un SEL homogéneo

Una base \mathbf{B} para un espacio vectorial \mathbf{V} cumple las siguientes condiciones:

  1. El conjunto \mathbf{B} está formado por vectores linealmente independientes.
  2. Los vectores en \mathbf{B} generan el espacio vectorial \mathbf{V}.

Una de las aplicaciones fundamentales de este concepto, es el poder expresar el conjunto de soluciones de un SEL (sistema de ecuaciones lineales) homogéneo de n variables, mediante una base para el conjunto de sus soluciones como vectores en \mathbb{R}^n.

Por ejemplo, el sistema:

\begin{matrix} x+z+3w & = 0 \\ 3x-y+2z+w &=0 \end{matrix}

Se puede transformar a su forma escalonada reducida por renglones:

1 0 1 3
0 1 1 8

Lo cual es equivalente a las siguientes dos ecuaciones:

\begin{matrix} x+z+3w & = 0 \\ y + z + 8w &=0 \end{matrix}

Tomando los parámetros s=z y t=w, podemos despejar x y y para obtener el conjunto de soluciones:

S=\{ (-s-3t,-s-8t,s,t)\in \mathbb{R}^4\; | \;s,t \in \mathbb{R} \}

Utilizando ahora el concepto de combinación lineal, con \mathbf{v}_1=(-1,-1,1,0)^{T} y \mathbf{v}_2=(-3,-8,0,1)^{T}  podemos escribir:

S=\{ s\mathbf{v}_1+t\mathbf{v}_2\; | \;s,t \in \mathbb{R} \}

Decimos entonces que \mathbf{B}=\{ (-1,-1,1,0)^{T}, (-3,-8,0,1)^{T} \} es una base para el conjunto de soluciones del sistema lineal en cuestión.

Compartimos el archivo espaciosol.ggb con el que puede visualizar (hasta cierto punto) el espacio solución indicado:

Figura generada con espaciosol.ggb

Actividad: ¿Podría verificar que los elementos de la base \mathbf{B} anterior, son linealmente independientes?

Combinación lineal y espacio generado

Dados los vectores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 de un espacio vectorial V, llamamos combinación lineal de \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 a cualquier vector de la forma: \mathbf{v}=c_1\mathbf{v}_1 +c_2\mathbf{v}_2, donde c_1,c_2\in \mathbf{F} (i.e. son escalares, por ejemplo, en \mathbb{R}). Lamamos espacio generado por \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 al conjunto:

gen(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 \})=\{c_1\mathbf{v}_1 +c_2\mathbf{v}_2 \; | c_1,c_2 \in \mathbf{F})

Lo anterior se generaliza de forma natural a n vectores.

Ejemplo: Si \mathbf{v}_1=x-1 y \mathbf{v}_2=x^2, ambos considerados como vectores en \mathbf{P}_n, y \mathbf{F} = \mathbb{R} , entonces tenemos que \mathbf{v}=x^2+x-1 es una combinación lineal de dichos vectores y que

\mathbf{G}=gen(\{x-1,x^2 \})=\{c_1 x - c_1 + c_2 x^2 \; | c_1,c_2 \in \mathbb{R})

Note que dicho espacio generado es menor al espacio \mathbf{P}_2. Por ejemplo x-x^2 \not\in \mathbf{G}.

Figura generada con contraejemploclin.ggb

Puede explorar el archivo contraejemploclin.ggb (de GeoGebra) y experimentar con otros ejemplos.

Subespacios de un espacio vectorial

Dado un subconjunto H de un espacio vectorial V con operaciones asociadas, podemos determinar si H es en sí mismo un espacio vectorial (es decir un subespacio vectorial) de V si es que se cumplen los dos axiomas de cerradura.

  • [cerradura bajo la suma de vectores] \forall x,y \in H, se cumple x \oplus y \in H
  • [cerradura bajo la multiplicación por escalar] Si x \in H, y \alpha es un escalar, entonces \alpha \otimes x \in H.

Ejemplo 1: Sea V un plano en \mathbb{R}^3 que pasa por el origen, con las operaciones normales de vectores en \mathbb{R}^3, entonces cualquier recta H que pasa por el origen y que es subconjunto de dicho plano, es un subespacio vectorial de V. ¿Podría justificar lo anterior aplicando la suma normal de vectores en \mathbb{R}^3 y la multiplicación por escalares del campo \mathbb{R}? (compartimos el archivo subespacios.rkt que genera la siguiente figura, que bajo DrRacket puede mover con el mouse)

Figura generada con Plot (de DrRacket) versión 5.2

Ejemplo 2: Si V=\mathbb{R}^2 y H={(x,y): x^2+y^3<1}. ¿Se cumple que H es un subespacio vectorial de V?. Resp.  Podemos argumentar que no es un subespacio vectorial porque no cumple los axiomas de cerradura, en particular: sea x=\frac{1}{2} e y=\frac{1}{2}, se cumple que x^2+y^3=\frac{1}{2}^2+\frac{1}{2}^3<1, pero 2(x,y)=(2x,2y)=(1,1) no cumple la segunda cerradura, ya que 1^2+1^3\not < 1. Puede explorar el archivo nosubespacio.ggb que genera la siguiente figura.

Figura generada con GeoGebra 4

Axiomas de un espacio vectorial

El enfoque axiomático es fundamental para definir objetos matemáticos ya que nos ayudan a determinar si se cumplen o no ciertas propiedades. Decimos que un conjunto de objetos matemáticos V, junto con dos operaciones \oplus y \odot (que llamamos la suma vectorial y la multiplicación de un escalar¹ por un vector, respectivamente) forman un espacio vectorial, si se cumplen los diez axiomas siguientes:

  1. [cerradura bajo la suma de vectores] \forall x,y \in V, se cumple x \oplus y \in V
  2. [asociatividad de la suma de vectores] \forall x,y,z \in V, se cumple (x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)
  3. [elemento identidad de la suma de vectores] \exists 0 \in V tal que 0 \oplus x = x \oplus 0 = x
  4. [elemento inverso aditivo] Si x \in V, \exists \; -x \in V tal que x \oplus (-x) = 0
  5. [conmutatividad de la suma de vectores] \forall x,y \in V, se cumple x \oplus y = y \oplus x
  6. [cerradura bajo la multiplicación por escalar] Si x \in V, y \alpha es un escalar, entonces \alpha \odot x \in V.
  7. [primera ley distributiva] Si x,y \in V y \alpha un escalar, entonces \alpha \odot (x \oplus y)=(\alpha \odot x) \oplus (\alpha \odot y)
  8. [segunda ley distributiva] Si x \in V y \alpha, \beta son escalares, entonces (\alpha + \beta) \odot x = (\alpha \odot x) \oplus (\beta \odot x)
  9. [asociatividad de multiplicación por escalares] Si x \in V y \alpha, \beta son escalares, entonces \alpha \odot (\beta \odot x) = (\alpha \beta) \odot x
  10. [identidad de multiplicación por escalar] Para cada vector x \in V, se cumple 1 \odot x = x

La belleza de estos axiomas es que permiten identificar como espacios vectoriales las estructuras (V, \oplus, \odot) más inesperadas. Se le invita a revisar el excelente artículo Espacio vectorial [ en Wikipedia].

Para ejemplos de diferentes espacios vectoriales (incluyendo demostraciones breves) recomendamos la página de William L. Perry sobre Vector Spaces. Si desea una mayor cobertura de temas, recomendamos el capítulo Vector Spaces de James Nearing.

Compartimos el archivo de GeoGebra vectoressyp.ggb [que por cierto está estrenando la versión 4.0.8], en el que pueden interactuar para visualizar la suma de vectores y producto de escalar con vector, para el caso de \mathbb{R}^2.

Nota: ¹Al conjunto del que se obtienen los escalares le llamamos campo (o cuerpo) [ver artículo Cuerpo (matemáticas) en Wikipedia]. Entre los campos principales se tienen los reales \mathbb{R} y los complejos \mathbb{C} (además de los campos finitos). Como nota adicional, los campos y sus extensiones son claves para entender la famosa Teoría de Galois.

Propiedades de los determinantes

El cálculo del determinante de una matriz cuadrada A, se facilita considerando las siguientes siete propiedades (ver pp. 187-190 Álgebra Lineal 6/e de Grossman)

  1. Si cualquier renglón o columna de A es un vector cero, entonces det A=0 (ver p. 187)
  2. Si cualquier renglón o columna de A se multiplica por un escalar c, entonces el det A se multiplica por c (ver p. 187)
  3. Si A y B son idénticas excepto por la columna j y C es idéntica a A y B excepto que su j-ésima columna es la suma de las j-ésimas columnas de A y B, entonces det C=det A + det B (ver p. 188)
  4. El intercambio de cualesquiera dos renglones (o columnas) distintos de A tiene el efecto de multiplicar det A por -1 (ver p. 188)
  5. Si A tiene dos columnas o renglones iguales, entonces det A=0 (ver p. 189)
  6. Si un renglón (columna) de A es un múltiplo escalar de otro renglón (columna), entonces det A=0 (ver p. 190)
  7. Si se suma un múltiplo escalar de un renglón (columna) de A a otro renglón (columna) de A, entonces su determinante no cambia. (ver p. 190)

Actividad: Favor de reflexionar sobre las implicaciones de estas propiedades para la existencia de soluciones únicas de Ax=b, con A una matriz n\times n.

Referencias:

Potencias y raíces de números complejos

Dado un número complejo en su forma polar z=re^{i\theta}, podemos calcular la potencia y raices n-ésimas mediante:

z^n=r^ne^{i\theta n}

z^{1/n}=r^{1/n}exp\{i(\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi k}{n})\} para k=0,1,\dots ,n-1

Bajo GeoGebra podemos definir los ángulos asociados a las raíces mediante el comando iterationList[] con los argumentos x+\frac{2 \pi}{n}, \frac{\theta}{n} y n-1. La siguiente figura ilustra las potencias de un número complejo (ver archivo potencias.ggb)

Figura generada por potencias.ggb

Visualizamos también las raíces mediante el archivo raices.ggb , que genera la siguiente figura:

Figura generada con raices.ggb

Referencias selectas: