AL-CB1

Grupo de Estudio de Álgebra Lineal por Indicadores de Competencias Específicas (elementos):

Bloque 1 [iC 1-5] [operaciones elementales con números complejos y aplicaciones I].

[rev. 2015.02.16]

Lectura panorámica:  Brain, Lolita.  El complejo i. Aula en el mundo, p. 57 (suplemento cultural del periódico El Mundo)

[iC 1] Convertir un número complejo de su representación cartesiana o rectangular a+bi a su forma polar (r;\theta), y viceversa.

Lecturas sugeridas:

Actividad 1A. Realizar las siguientes conversiones entre representaciones de números complejos:

      1. Convertir 3-4i a su representación polar.
      2. Convertir (5;\frac{\pi}{12}) a su representación rectangular o cartesiana.

[iC  2] Calcular la suma, resta, multiplicación y división de dos números complejos.

Video recomendado: Ríos, Julio. Multiplicación y división de números complejos.[YTb]

Actividad 2A. Realizar las siguientes operaciones con números complejos, para el caso cuando z_1=3-\frac{2}{3}i, z_2=\frac{1}{2}+2i.

      1. z_1 + 2z_2
      2. z_1 z_2
      3. \frac{z_2}{z_1}

Actividad 2B. Realizar las operaciones en Actividad 2A, pero considerando z_1=(3;\; 3\sqrt{3}), z_2=1+\frac{4}{3}i.

[iC 3] Calcular potencias y raíces  de un número complejo dado.

Sugerencia: Revisar el segmento Potencias y raíces de números complejos.

Actividad 3A. Encontrar los números complejos que se indican:

      1. (4-3i)^7
      2. Todos los números w tales que w^5=4-3i (es decir, las cinco raíces quintas de 4-3i)

[iC 4℘] Determinar y verificar la solución de una ecuación cuadrática o cúbica general con soluciones en los números complejos \mathbb{C}.

Lecturas sugeridas:

(a) Katznelson, Yonatan (2009). A Primer on Complex Numbers. {Revisar en particular Proposition 4.7 y Example 4.3 en pág. 20}

(b) [SOS Math], The “Cubic Formula.

(c) www.ecuacioncubica.com [Gracias a Daniel Flores (ITT) por esta referencia]

Sitio web para explorar: polynomiography.com {matemáticas y diseño gráfico mediante polinomios en números complejos}

Actividad 4A. Encontrar las dos soluciones de las siguientes ecuaciones (favor de verificar c/u de las soluciones encontradas)

      1. z^2-2z+6=0
      2. z^2+z+(1-i)=0
      3. 3z^2-z+3=0

Actividad 4B. Encontrar todas las soluciones de las siguientes ecuaciones (favor de verificar c/u de las soluciones encontradas)

      1. z^3-8z-3=0
      2. z^3-z^2+z-1=0
      3. z^3-9z^2+16z-14=0

[iC 5℘] Resolver aplicaciones que involucren números complejos:

[A] Resolver circuitos eléctricos básicos (de dos o tres mallas o de impedancias equivalentes), con impedancias representadas como números complejos de la forma a+jb

Sugerencia: [revisar los tutoriales : (a) Resistors in parallel y (bStar Delta Transformation, de Electronic-Tutorials] {nota: en las fórmulas anteriores, se pueden considerar impedancias en lugar de sólo resistencias} [además se pueden leer: (c) Using complex numbers in circuit analysis and Review of the algebra of complex numbers (Prof. Johnson)]

Actividad 5A1. Calcular la impedancia equivalente de un circuito eléctrico formado por las impedancias  Z_1=50-2jZ_2=30-jZ_3=120+2j, conectadas en paralelo.

[B] Resolver recurrencias lineales de segundo orden.

Sugerencia: Revisar lema 1 en p. 3 del artículo [Positivity of second order linear recurrent sequences. Tero Harju, et al.]

Actividad 5B1. Resolver la recurrencia: u_n=-2u_{n-1}+3u_{n-2} cuando u_0=4, u_1=-3.

[C] Realizar gráficas de geometría fractal basadas en la fórmula z_{n+1}=z^2_n+c.  [Referencia: Curso de Fractales en Univ. de Yale]

[D] Aplicación a demostraciones en geometría [Referencia: Teoremas acerca de triángulos equiláteros  (Barrera/Navarrete)]

Ejercicios adicionales: Se le invita a revisar los ejercicios de escalera Unidad 1. Números complejos [así como las  respuestas]

[Nota: Favor de consultar la página principal de AL para fechas de evaluación de estas CE. Además como preparación, se sugiere estudiar los materiales recomendados según las fechas de cada CE. Gracias]

Matemáticas en pequeños segmentos para disfrutar

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