AL-CB2

Grupo de Estudio de Álgebra Lineal por indicadores de Competencias Específicas (elementos) : Bloque 2

iC 6-10 [SEL, Determinantes, Cramer]

[rev. 2015.03.09]

[iC 6]  Determinar el conjunto de soluciones que cumplen con el sistema:

     \begin{align*} a_{11}x+a_{12}y &= b_1 \\ a_{21}x+a_{22}y &= b_2 \end{align*}

utilizando ya sea el método de sustitución,  eliminación o igualación.

Observaciones: (a) el conjunto de soluciones podrá consistir en cero, uno o bien un número infinito de pares ordenados. (b) los números involucrados pueden ser complejos. (c) Aunque aún no estamos utilizando propiamente la representación matricial del sistema, estamos utilizando las variables doblemente indexadas a_{ij} que representan al elemento en el renglón-i y columna-j de la matriz A. En un próximo bloque representaremos de forma compacta un sistema lineal mediante la notación A\mathbf{x}=\mathbf{b}.

Lecturas Previas:

Videos recomendados: {Nota: los anuncios no son parte del tema. Sugerencia:  ”Skip Add“}

Actividad 6A Resuelva el siguiente sistema por sustitución y eliminación, verificando que en cada caso la solución es: x=-\frac{89}{21}, y=\frac{185}{63}

     \begin{align*} \frac{1}{3}x-\frac{1}{5}y &= -2 \\ \frac{2}{3}x+y &= \frac{1}{9} \end{align*}

Actividad 6Determine el conjunto de soluciones para el sistema:

     \begin{align*} x-2y &= 6 \\ -2x+4y &= -\frac{1}{2} \end{align*}

Actividad 6C. Resuelva el siguiente sistema por sustitución y eliminación, verificando que en cada caso la solución es: x=\frac{615}{91}, y=-\frac{192}{91}

     \begin{align*} \frac{1}{3}x+y &= \frac{1}{7} \\ \frac{2}{5}x+\frac{1}{3}y &= 2 \end{align*}

[iC 7] Encontrar el valor del determinante de una matriz A de dimensión 2 \times 2, es decir encontrar det(A) donde:

 det(A)=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}

mediante la definición a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}. [Incluye: (a) Transformar un SEL a su forma matricial. (b) Reconocer la relación entre el determinante de A en la solución de Ax=b, (c) Resolver problemas geométricos (como el área de un triángulo o un polígono irregular en \mathbb{R}^2)]

Observación: En general los elementos de dicha matriz pueden ser no solamente números, sino también funciones y otros objetos matemáticos.

Lectura sugerida: Shoelace Theorem {Art of Problem Solving} [tema: área de un polígono irregular]

Actividad 7A. Encuentre el valor de los determinantes de las siguientes matrices:

  1.  \displaystyle A=\begin{pmatrix} \frac{2}{3} & 3 \\ 2 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}

  2.  \displaystyle B=\begin{pmatrix} x & -cosx \\ -x & cosx \end{pmatrix}

Actividad 7B. Encuentre el área de un polígono irregular cuyos vértices recorridos en sentido contrario a las manecillas del reloj son: (4.-2), (9,3), (6,3), (7,2) y (4,-2) (el vértice inicial).

Actividad 7C. Encuentre los dos valores de r tal que el área del triágulo con vértices (1,0), (\dfrac{1}{2},3) y (-1,r) sea igual a la unidad.

[iC 8] Encontrar el valor del determinante de una matriz A de dimensión 3 \times 3, mediante la regla de Sarrus, es decir encontrar det(A) donde:

 det(A)=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}

[Incluye: Resolver problemas geométricos (como el área de un triángulo y el volúmen de un tetraedro en \mathbf{R}^3)]

Obs: La regla de Sarrus aplica sólo a matrices 3 \times 3.

Video sugerido [Video Determinant 3X3 {mediante Regla de Sarrus}]

Lectura sugerida:  Volume of tetrahedron-vectors. [a-levelmaths.com]

Nota: Más adelante veremos el cálculo del determinante para matrices de orden n (es decir: n \times n), mediante el método de menores y cofactores.

Actividad 8A Encuentre el determinante de las siguientes matrices, utilizando la regla de Sarrus.

  1.  \displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 2 & \frac{3}{2} & 3 \\ \frac{1}{3} & 2 & 1 \end{pmatrix}
  2.  \displaystyle B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & cosx \\ x & -1 & cosx \end{pmatrix}

Actividad 8B. Encuentre el área del triángulo en \mathbf{R}^3 con vértices (1,0,1), (-2,-4,7) y (2,1,4)

Actividad 8C. Encuentre el volúmen de un tetraedro dado que sus vértices son (1,0,1), (-2,-4,7) , (2,1,4) y (4,-4,0).

Actividad 8D. Encuentre el valor de r para que el volúmen del tetraedro dado por los vértices (1,0,1), (-2,-4,r) , (2,1,4) y (4,-4,0), sea exactamene  igual a 20 u^2.

[iC 9℘] Graficar (tanto manual como por computadora) rectas paramétricas y planos en \mathbf{R}^3 (ya sea en base a su forma canónica: ax+by+cz+d=0 o bien en base a su vector normal y un punto sobre dicho plano).

Lectura previaMora, W. F. (2011)Álgebra lineal: vectores, rectas, planos y rotaciones (PDF interactivo) {Secciones 2.4-2.5}

Actividad 9A. Graficar el plano definido por su vector normal \mathbf{n}=<1,1,1> y el punto A=(1,1,1). Indique los puntos de intersección con los tres ejes coordenados, y escriba la ecuación escalar que define dicho plano.

Actividad 9B. Graficar los planos definidos por (P_1,n_1) y (P_2,n_2), donde P_1=(1,0,2), P_2=(1,1,1), n_1=<1,0,2>, n_2=<1,1,1>. Dibujar también (en la misma gráfica) la recta paramétrica definida por Q_0+r(Q_1-Q_0), donde r \in \mathbb{R}, Q_0=(5,-2,0) y Q_1=(3,-1,1). Favor de anotar sus observaciones.

[iC 10℘] Determinar la solución única (si existiera) del sistema:

     \begin{align*} a_{11}x+a_{12}y + +a_{13}z &= b_1 \\ a_{21}x+a_{22}y +a_{23}z &= b_2 \\ a_{31}x+a_{32}y +a_{33}z &= b_3\end{align*}

utilizando el método de Cramer. [incluye: (a) graficación por computadora de los planos representados por el SEL, (b) cálculo de cada uno de los determinantes involucrados en el método,  con ayuda de la computadora, (c) aplicación del método a un problema contextualizado]

Observación: La Regla de Cramer aplica sólo a sistemas donde el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, y para el cual el determinante de su “matriz de coeficientes” es distinto de cero.

Sugerencia: [estudiar →Video de Julio Ríos: Solución de un sistema de 2×2 mediante la Regla de Cramer] {aunque este ejemplo es para 2 \times 2 , el método se generaliza directamente al caso n \times n}.

Actividad 10A Determinar mediante la regla de Cramer, la solución al sistema de ecuaciones lineales:

     \begin{align*} x+2y -z &= 3 \\ x-4y +2z &= 0 \\ -2x-y +4z &= -1\end{align*}

Actividad 10B. Resuelva por la regla de Cramer (si tuviera solución única), el sistema:

     \begin{align*} ax+by +cz &= 10 \\ px+qy +rz &= 20 \\ 4x+5y+6z &= 30\end{align*}

donde:  a,b,c corresponde al número de letras en sus primer(os) nombres, apellido paterno y apellido materno, respectivamente, y p,q,r corresponde al número de vocales en dichas palabras (respectivamente).

[Nota: Favor de consultar la página principal de AL para fechas de evaluación de estas CE. Gracias]

Matemáticas en pequeños segmentos para disfrutar

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