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Grupo de Estudio de Álgebra Lineal por Competencias Específicas:

Bloque 3 [CE 11-15] Operaciones con matrices, matriz inversa, determinantes II (menores y cofactores), adjunta de una matriz.

[CE 11] Realizar operaciones de suma, resta y multiplicación de matrices compatibles, así como productos de escalar por matriz.

Sugerencia: Estudiar el video de Julio Ríos: Multiplicación de Matrices (YTb)

Actividad 11A Realizar las operaciones indicadas , si las matrices involucradas son:

$A=\begin{pmatrix} -2 & 4\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \mathrm{, \: } B=\begin{pmatrix} 3 & -2 & 1\\ -4 & 2 & -1\end{pmatrix} \mathrm{, \: } C=\begin{pmatrix} -2 & 1\\ 3 & -2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

$A-2A^T$

$BC$

$2BC-A$

[CE 12] Determinar la inversa de una matriz cuadrada $A$ transformando la matriz aumentada $[A|I]$ a su forma escalonada reducida por renglones (rref), para obtener $[I|A^{-1}]$ .

Sugerencia. Revisar el video de Julio Ríos: Suma del cuadrado de una matriz y su inversa (parte 1 de 2 | parte 2 de 2).

Lectura recomendada. Nota Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial, [2010, Depto. de Matemáticas, CCIR/ITESM] {acc. 2012.02.21} {en particular revisar §§9.4-9.6}

Actividad 12A Determinar $A^{-1}$ y $B^{-1}$ sabiendo que

$A=\bigl(\begin{smallmatrix} 2 & -3\\ 1 & 4 \end{smallmatrix}\bigr)$ y $B=\bigl(\begin{smallmatrix} 2 & 1 & -3\\ 1 & 4 & -1\\ -2 & 3 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)$ .

Actividad 12B Determinar la inversa de $A$ definida como sigue:

$A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 4 & 2 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & -4 & 1 \end{pmatrix}$

[CE 13] Determinar el cambio en las soluciones $\mathbf{x}$ , si la matriz de coeficientes $A$ permanece constante, pero $\mathbf{b}$ en la ecuación $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ cambia de $\mathbf{b}_0$ a $\mathbf{b}_1$ [incluye variantes como el Modelo de Leontief de insumo-producto (caso de economía abierta)]

Observación. Este caso se presenta con frecuencia en sistemas de producción. Otro ejemplo es en la determinación de las corrientes en un circuito de resistencias donde se modifican sólo los voltajes aplicados.

Lectura recomendada: [Prof. Mathews (c.2003) Module for the Leontief Economic Model, California State Univ. Fullerton] {ver The Open Leontief Model}

Lecturas complementarias sugeridas:

Fuentes, N. A. (2005). Construcción de una matriz regional insumo-producto, Problemas del Desarrollo, No. 140. Colección eJournal UNAM [acc. 2012.02.26]

Inomata, S. (2008). A New Measurement for International Fragmentation of the Production Process: An International Input-Output Approach. IDE Discussion Paper No. 175. Institute of Developing Economies. [acc. 2012.02.26]

Archivo GeoGebra: oleontief.ggb {un pequeño ejemplo del modelo abierto de Leontief, para sólo tres sectores productivos}

Actividad 13A. Determinar las diferencia $\mathbf{x}_1 -\mathbf{x}_0$ para el sistema $A\mathbf{x}_0=\mathbf{b}_0$ y $A\mathbf{x}_1=\mathbf{b}_1$ para cuando: $A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1\\ 3 & -1 & 4\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \mathbf{b}_0=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}, \mathbf{b}_1=\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}$

Actividad 13B. [Problema de aplicación a un circuito eléctrico de tres mallas y dos fuentes de voltaje DC con voltajes distintos. ¿Cómo cambian las corrientes cuando se intercambian dichas fuentes?] {por complementar}

[CE 14] Calcular el determinante de una matriz $n \times n$ por el método de menores y cofactores [incluye conocer y hacer uso de las propiedades básicas de los determinantes]

Sugerencias:

Revisar la nota “Determinantes y Desarrollo por cofactores” [2010, Depto. de Matemáticas, CCIR/ITESM] {acc. 2012.02.21}

Estudiar el segmento: Propiedades de los determinantes [Cemati.com]

Actividad 14A. Calcular mediante cofactores el determinante de la matriz $A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 4 & 2 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & -4 & 1 \end{pmatrix}$

[CE 15] Calcular la inversa de una matriz $n \times n$ por el método de la adjunta.

Sugerencias:

(a) Revisar artículo en [Wikipedia, Matriz de adjuntos],
(b) Estudiar la nota “Propiedades de los determinantes” [2010 Depto. de Matemáticas, CCIR/ITESM] {acc. 2012.02.21} {en particular, revisar las propiedades 1-10 de los determinantes en §19.1 y el tema de la Adjunta de una matriz en §§19.2 – 19.3}
(c) Revisar nota “Adjunta de una matriz” [en hotmath.com]

Actividad 15A. Calcular mediante su adjunta y determinante, la inversa de la matriz $A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 4 & 2 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & -4 & 1 \end{pmatrix}$

[Nota: Favor de consultar la página principal de AL para fechas de evaluación de estas CE. Además como preparación, se sugiere estudiar los materiales recomendados según las fechas de cada CE. Gracias]