AL-CB4

Grupo de Estudio de Álgebra Lineal por Competencias Específicas (indicadores):

[rev. 2015.04.16]

Bloque 4 [iC  16-20] Operaciones con matrices, matriz inversa, determinantes II (menores y cofactores), adjunta de una matriz.

[iC 16] Realizar operaciones de suma, resta y multiplicación de matrices compatibles, así como productos de escalar por matriz.

Lectura previa: [Marzan, 2012] Apuntes de Álgebra Lineal (páginas 12-14) [acc. 2013.10.02]

Video sugerido: [Julio Ríos] Multiplicación de Matrices (YTb)

Actividad 16A Realizar las operaciones indicadas , si las matrices involucradas son:

A=\begin{pmatrix} -2 & 4\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \mathrm{, \: } B=\begin{pmatrix} 3 & -2 & 1\\ -4 & 2 & -1\end{pmatrix} \mathrm{, \: } C=\begin{pmatrix} -2 & 1\\ 3 & -2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}

(a) A-2A^T

(b) BC

(c) 2BC-A

[iC 17] Determinar la inversa de una matriz cuadrada A transformando la matriz aumentada [A|I] a su forma escalonada reducida por renglones (rref), para obtener [I|A^{-1}] .

Lectura previa: Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial, [2010, Depto. de Matemáticas, CCIR/ITESM] {acc. 2012.02.21} {espec. revisar §§9.4-9.6}

Videos sugeridos: [Julio RíosSuma del cuadrado de una matriz y su inversa (parte 1 de 2 | parte 2 de 2).

Actividad 17A Determinar A^{-1} y B^{-1} sabiendo que

A=\bigl(\begin{smallmatrix} 2 & -3\\ 1 & 4 \end{smallmatrix}\bigr) y B=\bigl(\begin{smallmatrix} 2 & 1 & -3\\ 1 & 4 & -1\\ -2 & 3 & 1 \end{smallmatrix}\bigr).

Actividad 17B Determinar la inversa de A definida como:

A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 4 & 2 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & -4 & 1 \end{pmatrix}

[iC 18℘] Resolver aplicaciones selectas que involucren la inversa de una matriz. [ejemplos: circuitos eléctricos resistivos, modelo de Leontief, criptología básica]

Observación. Generalmente se calculan cambios en las soluciones \mathbf{x}, para cuando la matriz de coeficientes A permanece constante, pero \mathbf{b} en la ecuación A\mathbf{x}=\mathbf{b} cambia de \mathbf{b}_0 a \mathbf{b}_1 (esto podría aplicarse repetidamente)

Lectura previa: [Prof. Mathews (c.2003) Module for the Leontief Economic Model, California State Univ. Fullerton] {ver The Open Leontief Model}

Lecturas complementarias (aplicaciones:)

(a) Eisenberg, Murray (1999) Hill Chiphers and Modular Linear Algebra. [acc. 2014.04.24] (ver también [1])

(b) Fuentes, N. A. (2005). Construcción de una matriz regional insumo-producto, Problemas del Desarrollo, No. 140. Colección eJournal UNAM [acc. 2012.02.26]

(c) Inomata, S. (2008). A New Measurement for International Fragmentation of the Production Process: An International Input-Output Approach. IDE Discussion Paper No. 175. Institute of Developing Economies. [acc. 2012.02.26]

Archivo GeoGebra: oleontief.ggb {un pequeño ejemplo del modelo abierto de Leontief, para sólo tres sectores productivos}

Actividad 18A. Determinar las diferencia \mathbf{x}_1 -\mathbf{x}_0 para el sistema A\mathbf{x}_0=\mathbf{b}_0 y A\mathbf{x}_1=\mathbf{b}_1 para cuando: A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1\\ 3 & -1 & 4\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \mathbf{b}_0=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}, \mathbf{b}_1=\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}

Actividad 18B. [Problema de aplicación a un circuito eléctrico de tres mallas y dos fuentes de voltaje DC con voltajes distintos. ¿Cómo cambian las corrientes cuando se intercambian dichas fuentes?] Resolver de nuevo el circuito visto en clase, utilizando los mismos voltajes pero ahora con las siguientes resistencias: R_1=150\Omega,   R_2=250\OmegaR_3=200\Omega.

Actividad 18C. [Criptología básica] Seleccionar al azar uno de los ejercicios en la sección §1.3 en [Ángel, j. ] y resolverlo. [acc. 2015.03.19]

Actividad 18D. [Aproximación por mínimos cuadrados]  Resolver el ejemplo 3 (en pág. 224 de Strang) para b=7,1,1  cuando t=1,2,3 respectivamente.

[iC 19] Calcular el determinante de una matriz n \times n por el método de cofactores [Obs. incluye conocer y hacer uso de las propiedades básicas de los determinantes, y las que de ellas se derivan]

Lectura previa:

(a) Revisar la nota “Determinantes y Desarrollo por cofactores” [2011, Depto. de Matemáticas, CCIR/ITESM] {acc. 2015.03.26}

(b) Estudiar el segmento: Propiedades de los determinantes [Matikai.com]

Actividad 19A. Calcular mediante cofactores el determinante de la matriz A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 4 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ -3 & 1 & -4 & 1 \end{pmatrix}

[iC 20℘] Calcular la inversa de una matriz n \times n por el método de la adjunta.

Sugerencias:

Actividad 20A. Calcular mediante su adjunta y determinante, la inversa de la matriz  A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 4 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ -3 & 1 & -4 & 1 \end{pmatrix}

Actividad 20B. Calcular mediante su adjunta y determinante (si existiera), la inversa de la matriz cuadrada de orden 3, A=[a_{ij}] donde a_{ij}=\left\{\begin{matrix} i+j & \mbox{ si } & i>j\\ i^2 & \mbox{ si } & i=j\\ i-j & \mbox{ si } & i<j \end{matrix}\right.}

[Nota: Favor de consultar la página principal de AL para fechas de evaluación de estas CE. Además como preparación, se sugiere estudiar los materiales recomendados según las fechas de cada CE. Gracias]

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