AL-CB6

Grupo de Estudio de Álgebra Lineal por Competencias Específicas: indicadores  (elementos):

Bloque 6 [iC 26-30] [espacios vectoriales II y aplicaciones]

[rev. 2015.05.28]

[iC 26] Determinar si un conjunto de vectores es linealmente independiente, si no lo es escribir un vector en términos de los demás.

Lectura sugerida: [Wikipedia: Dependencia e independencia lineal]

Actividad 26A. Determinar si los vectores \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} son linealmente independientes.

[iC 27] Determinar rango, nulidad, espacio de renglones y espacio de columnas de una matriz \mathcal{A}.

Lectura sugerida: [Rada, pp. 31-32 y 72-78 en Sección Libros]

Actividad 27A. Calcular el rango, nulidad, espacio de renglones y espacio de columnas para la matriz  A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & -4 & 3 \\ 4 & 5 & 6 & -8 \\ 0 & -1 & -14 & 14 \\ 6 & 6 & -12 & 9 \end{pmatrix}

[iC 28] Verificar formalmente y aplicar las propiedades de un Espacio [vectorial] con producto interno.

Lecturas sugeridas:

Actividad 28A. Si definimos el producto interno como producto punto (ver p. 58 Grossman 6e), es decir <u,v>=u\cdot v, calcular <u,v> para cuando u=(1+i,-2,3,4-2i) y v=(-i, i, 2i, 4-i).

Actividad 28B. Calcule la norma del vector \begin{pmatrix} 2 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}, considerando el producto interno como producto punto (ver pág. 34 Grossman 6e)

Actividad 28C. Calcular el ángulo \theta entre los vectores u=\begin{pmatrix} 2 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}v=\begin{pmatrix} 0 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix} [favor de expresarlo en radianes]

[iC 29] Convertir un conjunto de vectores a su forma de base ortonormal, mediante el procedimiento de Gram-Schmidt.

Lecturas sugeridas:(a) [Wikipedia: Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt]  (b) [Grossman 6e, pp. 387-403]

Video recomendado: [MIT, Gram-Schmidt Orthogonalization, 10 min. Yt]

Actividad 29A. Construya una base ortonormal en \mathbb{R}^3 comenzando con la base \{\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\}

[iC 30℘] Determinar los valores y vectores propios (eigenvalores y eigenvectores) de una matriz cuadrada de orden 2 ó 3.

Lecturas sugeridas:

Video recomendado: [AlgebraLinealGR5, Valores y Vectores Propios, Ytb]

Actividad 30A. Calcular los valores y vectores propios (característicos, eigen-) de la matriz :

(a) A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}

(bB=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}

Actividad 30B. [Solución de recurrencias lineales] {trabajo de investigación independiente [opcional]} {Sug. Revisar [Halava, Vesa et al. “Positivity of Second Order Recurrent Sequences“] y aplicar lema 1 en pág. 3}

Problema: Encuentre una fórmula explícita para la solución de la recurrencia lineal x_{k+2}=6x_{k}-x_{k+1}. Favor de justificar su respuesta.

[Nota: Favor de consultar la página principal de AL para fechas de evaluación de estas CE. Además como preparación, se sugiere estudiar los materiales recomendados según las fechas de cada CE. Gracias]

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