MN-CB1

Grupo de Estudio de Métodos Numéricos por Indicadores de Competencias Específicas (elementos):

[Bloque 1] iC 1-5 {tipos de errores, números de punto flotante IEEE 754, Teorema de Taylor}

[rev. 2015.02.16]

  • iC 1. Convertir un número decimal x representado en base 10 a su correspondiente representación en binario de punto flotante.
    • Lectura previa. [UAM c.2009] Conversión decimal a binario (incluye conversión de fracciones). España [acc. 2012.08.23]
    • Video contextual: [YTb] Floating Point <computerphile> {Gracias a Rubén Vazquez por la referencia} [acc. 2014.01.27]
    • Actividad 2A. Determinar la representación en binario del número decimal -7.9 y expresarlo de la forma 0.b_1b_2\cdots b_n \times 2^c, donde n=10.
    • Actividad 2B. Determinar la representación en binario del número decimal 3.2 y expresarlo de la forma 0.b_1b_2\cdots b_n \times 2^c, donde n=8 [Resp. [2]]
  • iC 2. Convertir un número racional x en base 10 a su número de punto flotante más cercano según la versión didáctica del IEEE-754 parametrizado b,m,t. Donde b es la longitud del bloque de memoria, m es el número de bits reservados para la fracción f de la fórmula, y t es el offset en la fórmula r=(-1)^{s}(1+f)\;2^{c-t} [incluye representar su bloque de memoria]
    • Lectura previa. [Moler 1996] Floating points: IEEE Standard unifies arithmetic model en Cleve’s Corner [acc. 2012.08.28]
    • Applet recomendado: [Mak, Ronald 2007] IEEE-754 Floating-Point Formats. Apropos-Logic {acc. 2012.08.29}
    • Actividad 3A. Determinar cuál es el número de punto flotante más cercano a -4.7 para la versión didáctica del IEEE-754 con parámetros (10,5,7).
    • Actividad 3B. Determinar cuál es el número de punto flotante más cercano a 3.2 para la versión didáctica del IEEE-754 con parámetros (8,4,3). [Resp. [3]]
  • iC 3 Realizar operaciones aritméticas de números racionales representados en el sistema IEEE 754 (versión parametrizada vista en clase) y determinar los errores de redondeo inducidos. Observación: identificar también si es que ocurren errores de desbordamiento hacia \pm \infty o hacia cero (en ing. overflowunderflow aritméticos respectivamente)
    • Lectura previa: [Hollasch, S. 2005] IEEE Standard 754 Floating Point Numbers. [acc. 2012.09.03]
    • Actividad 4A. Determine el error por redondeo que resulta al sumar fl(0.11) y fl(0.07) en el sistema de punto flotante \mathcal{F}_{12,6,15}.
    • Actividad 4B. Determine el error por redondeo que resulta al sumar fl(3.2) y fl(0.7) en el sistema de punto flotante \mathcal{F}_{8,4,3}. [Resp. [4]]
  • iC 4 Dado un valor x y una aproximación x^{*} (generada por fórmula o bien mediante un proceso algorítmico), determinar el error absoluto, error relativo y error relativo porcentual de dicha aproximación.
    • Lectura previa. [Comer 2009Sección 1.3.1 en páginas 9-10] [acc. 2012.08.23]
    • Actividad 1A. Determinar el error absoluto, error relativo y error relativo porcentual cuando aproximamos \pi con la fracción \frac{710}{225}.
    • Actividad 1B. Determinar el error absoluto, error relativo y error relativo porcentual cuando aproximamos \sqrt{14} con la fracción \frac{842}{223} [Resp. [1]]
  • iC 5℘ Determinar para una función f(x) su polinomio de aproximación de Taylor de grado n (para n\leq 4) alrededor de x_0=a y aplicarlo para encontrar el error de truncamiento al aproximar f(x) con P_n(x) para x=b. [nota: incluye determinar una cota del error para un cierto intervalo]
    • Lectura previa.  [Comer 2009] Error por truncamiento. Sección 1.3.3 en páginas 13-17] [acc. 2012.09.03]
    • Archivo recomendado: [GeoGebra: taylor2.ggb]
    • Actividad 5A. Calcular el error por truncamiento al aproximar ln(\frac{5}{4}) con el polinomio de aproximación de Taylor P_3(x) para f(x)=ln(x^2+1) alrededor de x_0=1.
    • Actividad 5B. Determinar el polinomio de aproximación de Taylor P_3(x) para ln(x)+cos(x) alrededor de x_0=4 y utilizarlo para aproximar el valor ln(5)+cos(5). Calcular también el error de truncamiento de dicha aproximación.
    • Actividad 5P.1. Encuentre el polinomio de Taylor (de menor grado) respecto a \frac{\pi}{4} para aproximar cos(\theta) cuando \frac{\pi}{16} \leq \theta \leq 2\pi, de forma que la precisión sea al menos 10^{-6}.
    • Actividad 5P.2. Encuentre el polinomio de Taylor (de menor grado) respecto a \frac{1}{2} para aproximar e^{-t/2} cuando 0.1 \leq t \leq 3, de forma que la precisión sea al menos 10^{-8}.
    • Actividad 5P.3. Encuentre el polinomio de Taylor (de menor grado) respecto a 1 para aproximar ln(x^2) cuando 0.1 \leq x \leq 10, de forma que la precisión sea al menos 10^{-6}.
    • Actividad 5P.4. Encuentre el polinomio de Taylor (de menor grado) respecto a 0 para aproximar cos(\theta)+sen^2(\theta) cuando -\pi \leq \theta \leq \pi, de forma que la precisión sea al menos 10^{-10}.

[Nota: Favor de consultar la página principal de MN para fechas de evaluación de estas CE. Gracias]

Matemáticas en pequeños segmentos para disfrutar

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