MN-CB2

Grupo de Estudio de Métodos Numéricos por Competencias Específicas (elementos):

[Bloque 2] iC 6-10 {interpolación de Lagrange, Newton, trazadores cúbicos y aplicaciones}

[rev. 2015.03.04]

  • iC 6 Construir el n-ésimo polinomio interpolante de Lagrange para un conjunto de números x_0,x_1,...,x_n distintos para los cuales se conoce f(x_i) ya sea mediante una tabla o por función explícita, y aplicarlo para estimar valores intermedios.
    • Lectura previa: [Wikipedia] Interpolación polinómica de Lagrange [acc. 2012.09.05]
    • Actividad 6A. Determinar el segundo polinomio interpolante de Lagrange para los puntos (2, f(2)), (3,f(3)),(5,f(5)) con f(x)=\frac{1}{x-1}
    • Actividad 6B. Con el polinomio de Lagrange obtenido en la actividad 6A, estimar el valor de la función en el punto x=4 y calcular el error relativo de dicha aproximación.
  • iC 7. Determinar el polinomio interpolador de Newton para datos {(x_i,y_i)} con i=0,1,2,...,n donde las x_i consecutivas son equidistantes [por ej. en el caso de tablas de funciones matemáticas], y aplicarlo para estimar valores intermedios.
    • Lectura previa 1: [Villatoro, F., et al. 2001] Cap. 6 Aproximación de funciones e interpolación. Revisar en particular §6.2.4-5 en págs. 117-123.
    • Lectura previa 2: [García, J, 2000] Interpolación: Fórmula de Newton en diferencias divididas (en Tutorial de Análisis Numérico). [acc. 2012.09.12]
    • Actividad 7A. [rev. 2] Determinar el polinomio interpolador de Newton para las probabilidades de la distribución t de Student (seud. de W. S. Gosset) para el valor de \nu=2 y para los valores críticos entre 0.90 y 0.999 inclusive, que incluye las seis columnas en la tabla (ver tabla en NIST)
    • Actividad 7B. Usando la fórmula de Newton por diferencias divididas, encuentre el valor de f(3.5) si se conocen los datos en la tabla siguiente: \begin{bmatrix} i & 0 & 1 & 2 & 3 \\ x_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\ f(x_i) & \dfrac{1}{3} & 1 & -\dfrac{2}{5} & 1 \end{bmatrix}
  • iC 8℘Programar la generación del polinomio interpolador de Newton.
    • Archivo referencia: [Lenguaje Racket, inewton.rkt, rev 02, 2012.12.06]
    • Actividad 8A [Programar en su lenguaje preferencial (p. ej. C#, Java, otros) ya sea el algoritmo 3.2 p. 124 ó el correspondiente a la fórmula 3.12 p. 127 Burden/Faires]
  • iC 9Programar la generación de trazadores cúbicos naturales y sujetos (splines) y aplicarlo para aproximar valores intermedios.
    • Lectura previa. [WolframMathWorld] Cubic Splines. [acc. 2012.09.24]
    • Archivo referencia. [GeoGebra] movab2.ggb {Ejemplo de trayectorias definidas por polinomios cúbicos} [act. 2012.09.26]
    • Actividad 9A [Programar en su lenguaje preferencial (p. ej. C#, Java, otros) el algoritmo 3.4 p. 146 Burden/Faires]
    • Actividad 9B. Calcular el valor de f(4.5) obtenido con el trazador cúbico natural (spline natural) aplicado a los datos en la siguiente matriz donde las x_i y f(x_i) corresponden al primero y segundo renglón respectivamente: \begin{bmatrix} 0.7 & 1.2 & 3.1 & 4.3 & 5.7 \\ 1.12 & 2.45 & -1.11 & 1.70 & 2.13 \end{bmatrix}
  • iC 10℘. Aplicar los programas CE 8 y CE 9 para determinar valores intermedios de tablas (caso CE 8), y para interpolar curvas de funciones trazadas en el plano (caso CE 9).
    • Actividad 10A Calcular el valor de f(2) obtenido con el polinomio interpolante de Newton aplicado a los datos en la siguiente matriz donde las x_i y f(x_i) corresponden al primero y segundo renglón respectivamente: \: \: \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & 13 \\ 1.3 & 1.5 & 1.85 & 2.1 & 2.6 & 2.7 & 2.4 \end{bmatrix}
    • Actividad 10B. Calcular el valor de f(1) obtenido con el trazador cúbico natural (spline natural) aplicado a los datos en la siguiente matriz donde las x_i y f(x_i) corresponden al primero y segundo renglón respectivamente: \begin{bmatrix} 0.9 & 1.3 & 1.9 & 2.1 & 2.6 & 3.0 & 3.9 \\ 1.3 & 1.5 & 1.85 & 2.1 & 2.6 & 2.7 & 2.4 \end{bmatrix}
    • Actividad 10C. En base a la tabla descrita en la Actividad 10A. determinar la diferencia máxima que existe entre el polinomio interpolante de Newton y el trazador cúbico natural, considerando que x \in [1.3, 2.4].
    • Actividad 10D. Graficar mediante splines (por partes) el contorno o perfil de una figura en el plano. El perfil debe ser cerrado, basado en curvas, y podría contener puntos no diferenciables (i.e. puntas). Favor de diseñar dicha figura por equipo de acuerdo a su interés.

[Nota: Favor de consultar la página principal de MN para fechas de evaluación de estas CE. Gracias]

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