Función escalón unitario

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La función escalón unitario U(x-a),  llamada también función de Heaviside, nos permite activar o desactivar cierta funcionalidad en términos de un parámetro a. Entre otras cosas, ayuda a definir directamente una función definida a tramos. Como referencia le invitamos a explorar el artículo Heaviside step function [Wikipedia].

Compartimos el archivo eunitario.ggb [para GeoGebra] que ayuda a visualizar su efecto al combinarlo con diversas funciones.

Sugerencia: en el archivo de GeoGebra, active sucesivamente las funciones p(x), q(x), r(x) y s(x) para ir visualizando el efecto de las funciones escalón unitario, U(x-a) y U(x-b), en forma individual y en combinación.

Polinomio interpolador de Lagrange

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El polinomio interpolador de Lagrange, nos permite construir una función polinomial de grado n garantizando que dicha función pasará por los puntos (x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1),\cdots ,(x_n,f(x_n)) . Para la definición y más detalles, le invitamos a revisar el artículo Interpolación polinómica de Lagrange [Wikipedia]

Compartimos los archivos lagrange.scm y lagrangeplot.rkt (archivo para DrRacket, ver [1]) donde encontrarán ejemplos de uso, entre ellos:

>(poli-lagrange '(2 5/2 4) '(1/2 2/5 1/4))
 (\frac{1}{20}  -\frac{17}{40}  1 \frac{3}{20})

El resultado previo indica que el polinomio interpolador asociado a los puntos (2,1/2), (5/2,2/5),(4,1/4) es: p(x)=\frac{1}{20}x^2 -\frac{17}{40}x+1 \frac{3}{20}.

Las instrucciones siguientes ilustran la forma de graficar en Scheme (incluyendo Plot), el polinomio interpolador de Lagrange asociado a otro conjunto de puntos:

>(plot (line (lagrangef '(-3 -1 0 2 3) '(1 2 1 -2 -1)))
 #:title "(lagrangef '(-3 -1 0 2 3) '(1 2 1 -2 -1))")

Mucho éxito en sus exploraciones matemáticas

Nota [1]. Los archivos lagrange.scm y lagrangeplot.rkt son casi idénticos, excepto que langrangeplot.rkt corre bajo DrRacket e incluye la funcionalidad de graficación elemental con plot. El primer archivo lagrange.scm, es compatible con R5RS (en un futuro próximo, esperamos realizarlo bajo el estándar R7RS). Gracias

Potencias y raíces de números complejos

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Dado un número complejo en su forma polar z=re^{i\theta}, podemos calcular la potencia y raices n-ésimas mediante:

z^n=r^ne^{i\theta n}

z^{1/n}=r^{1/n}exp\{i(\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi k}{n})\} para k=0,1,\dots ,n-1

Bajo GeoGebra podemos definir los ángulos asociados a las raíces mediante el comando iterationList[] con los argumentos x+\frac{2 \pi}{n}, \frac{\theta}{n} y n-1. La siguiente figura ilustra las potencias de un número complejo (ver archivo potencias.ggb)

Figura generada por potencias.ggb

Visualizamos también las raíces mediante el archivo raices.ggb , que genera la siguiente figura:

Figura generada con raices.ggb

Referencias selectas:

Bienvenidos

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Bienvenidos a Matikai: matemáticas en pequeñas porciones para reflexionar y disfrutar. Aquí podrán encontrar conceptos, herramientas, teoremas, demostraciones, algoritmos, implementaciones, problemas y sus soluciones, así como algunos poemas e ideas contextuales.

Gracias de antemano por sus visitas, comentarios y colaboraciones.

Mucho éxito en su desarrollo matemático