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EDL con coeficientes constantes: dos ejemplos

Compartimos dos ejemplos de EDL con coeficientes constantes. Como ejercicio sugerimos (a) visualizar las soluciones en GeoGebra, (b) Proponer un problema de aplicación [1] que pudiera dar origen  a dichas ecuaciones. Gracias.

[rev. 2015.03.24]

(1) Resolver el PVI de la ED homogénea:

4y''+5y=0, y(0)=1, y'(0)=-2

Solución:

  • La ecuación característica (o auxiliar) es 4m^2+5=0, por tanto las raíces son \pm \frac{\sqrt{5}}{2}i
  • Tenemos entonces la solución por el caso III, con \alpha =0 y \beta =\frac{\sqrt{5}}{2}
  • Por tanto y(x)=c_1 cos{\frac{\sqrt{5}}{2}x}+c_2 sen{\frac{\sqrt{5}}{2}x}.
  • Para el PVI calculamos y'(x)=-\frac{\sqrt{5}}{2} c_1 sen{\frac{\sqrt{5}}{2}x}+\frac{\sqrt{5}}{2} c_2 cos{\frac{\sqrt{5}}{2}x}.
  • Aplicando entonces y(0)=1 obtenemos 1=c_1 es decir c_1=1
  • con y'(0)=-2 obtenemos -2=\frac{\sqrt{5}}{2} c_2 es decir c_2=-\frac{4}{\sqrt{5}}.
  • En conclusión la solución al PVI es: y(x)=cos{\frac{\sqrt{5}}{2}x}-\frac{4}{\sqrt{5}} sen{\frac{\sqrt{5}}{2}}x.

(2) Encontrar la solución general de la ED no homogénea de coeficientes constantes:

y''-10y'+25y=-cos3x

Sabiendo que y_c(x)=c_1 e^{5x}+c_2 x e^{5x}.

Solución:

  • Aquí se propone y_p(x)=A cos3x + B sen3x
  • Obtenemos las derivadas para posteriormente (por el método de coeficientes indeterminados)  obtener la solución:
  • y'_p(x)=-3A sen3x + 3B cos3x
  • y''_p(x)=-9A cos3x - 9B sen3x
  • Desarrollando ahora y''_p-10y'_p+25y_p=-cos3x e igualando los coeficientes de cos3x y sen3x respectivamente, obtenemos:
  • y''-10y'+25y=(-9A-30B+25A)cos3x+(-9B+30A+25B)sen3x
  • Por lo cual -9A-30B+25A=-1 y -9B+30A+25B=0
  • Lo que se reduce a 16A-30B=-1 y 30A+16B=0.
  • Después por eliminación o sustitución, obtenemos: A=-\frac{4}{289} y B=\frac{15}{578}
  • Y por tanto, la solución general buscada es:
  • y(x)=c_1 e^{5x}+c_2 x e^{5x}-\frac{4}{289}cos3x+\frac{15}{578}sen3x.

Resortes acoplados y solución en WxMaxima

El siguiente sistema de ecuaciones representa el comportamiento de dos resortes acoplados verticalmente (ver pp. 296-297 [Zill 2009]):

     \begin{align*} \ddot{x_1}+10x_1-4x_2 &= 0 \\ -4x_1+\ddot{x_2}+4x_2 &= 0 \end{align*}

con condiciones iniciales: x_1(0)=0,\; x_1'(0)=1,\; x_2(0)=0,\; x_2'(0)=-1

Como ejemplo del uso de WxMaxima para resolver este tipo de problemas, presentamos  las instrucciones básicas para su solución (ver archivo resuelveode2.wxm)

Evaluando estas instrucciones contenidas en el archivo anterior (con Ctrl-R, en WxMaxima), obtenemos la solución:

     \begin{align*} x_1(t) &= \frac{\sqrt{3}}{5}sen(2 \sqrt{3} t) - \frac{1}{5 \sqrt{2}}sen(\sqrt{2} t) \\ x_2(t) &= -\frac{\sqrt{3}}{10}sen(2 \sqrt{3} t) - \frac{\sqrt{2}}{5}sen(\sqrt{2} t)\end{align*}

Compartimos el archivo visualizaode2.ggb (para GeoGebra) que nos permite visualizar la solución previamente obtenida.

Gráficas de posiciones de resortes acoplados

Le invitamos también a activar el archivo animaode2.ggb que permite de manera básica simular la dinámica de este sistema:

Resortes acoplados y animación básica

Referencia: [Zill 2009] Dennis G. Zill. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado (9/e) Cengage Learning.


Applet recomendado: Masses & Springs (con audio) PhET Interactive simulations. Univ. of Colorado at Boulder. [acc. 2010.12.11]

Solución de un sistema de ED mediante Laplace

Consideremos el PVI definido por:

    \[ \frac{dx}{dt}=1-y, \quad \frac{dy}{dt}=x \]

y las condiciones iniciales x(0)=1, y(0)=0.

Aplicando transformadas de Laplace obtenemos:

  1. \mathcal{L}\{\frac{dx}{dt}=1-y\}\rightarrow sX(s)-1=\frac{1}{s}-Y(s)
  2. \mathcal{L}\{\frac{dy}{dt}=x \} \rightarrow sY(s)=X(s), por lo cual
  3. Y(s)=\frac{1}{s}X(s), que sustituimos en el paso 1 para obtener:
  4. sX(s)-1=\frac{1}{s}-\frac{1}{s}X(s), lo cual factorizamos como X(s)(s+\frac{1}{s})=\frac{1}{s}+1, que se simplifica a X(s)(\frac{s^2+1}{s})=\frac{1+s}{s}, con lo cual: X(s)=\frac{s+1}{s^2+1}=\frac{s}{s^2+1}+\frac{1}{s^2+1}
  5. Podemos ahora aplicar la transformada de Laplace inversa para obtener: x(t)=cost+sent (usando las fórmulas L#7 y L#8)
  6. Por otra parte, sustituyendo X(s) en el paso 2, obtenemos: Y(s)=\frac{1}{s}[\frac{s+1}{s^2+1}]=\frac{1}{s^2+1}+\frac{1}{s(s^2+1)}
  7. Aplicando transformada inversa a la ecuación anterior, obtenemos y(t)=1-cost+sent (usando las fórmulas L#7 y L#30)

Por tanto la solución al PVI original es:

    \[ x(t)=cost+sent, \;y(t)=1-cost+sent \]

Compartimos el archivo sistemaed1.rkt (de Scheme/DrRacket) para visualizar el sistema y su solución:

Campo direccional y curva solución

Como referencia, les invitamos a explorar también el archivo laplacesisej1.wxm (de WxMaxima) que resuelve el mismo sistema.

Ejemplo de PVI con traslación en el tiempo

Un circuito eléctrico sencillo RC se puede modelar con la ecuación diferencial: R\frac{dq}{dt}+\frac{1}{C}q=E(t). Resolvamos el PVI siguiente, mediante transformadas de Laplace, el caso cuando: q(0)=0, R=2.5 \Omega, C=0.08\;f, y E(t)=5 \mathcal{U}(t-3). Observe que el voltaje tiene una traslación en el tiempo.

  • Con L#54 para n=2, obtenemos:
  • \mathcal{L}\{ 2.5 \frac{dq}{dt}+\frac{1}{0.08}q\}=2.5[sQ(s)-q(0)]+\frac{100}{8}Q(s), que factorizando se simplifica a Q(s)[\frac{5}{2}(s+5)].
  • Por otra parte \mathcal{L}\{ 5\mathcal{U}(t-3) \}=\frac{5}{s}e^{-3s} (por la fórmula L#51)
  • Igualando ambos resultados obtenemos:
  • Q(s)[\frac{5}{2}(s+5)]=\frac{5}{s}e^{-3s}, de donde obtenemos (con un paso de simplificación) que
  • Q(s)=\displaystyle \frac{2e^{-3s}}{s(s+5)}.
  • Ahora para obtener q(t) aplicamos la transformada inversa (usando la fórmula L#52)
  • q(t)=\mathcal{L}^{-1}\{ \displaystyle \frac{2e^{-3s}}{s(s+5)} \}=2f(t-3)\mathcal{U}(t-3), con f(t-3)=\mathcal{L}^{-1}\{ \frac{1}{s(s+5)}\} |_{t \rightarrow t-3} que (por la fórmula L#28) es igual a \displaystyle \frac{e^0-e^{-5t}}{0+5} |_{t \rightarrow t-3}, es decir f(t-3)=\frac{1}{5}-\frac{1}{5}e^{-5(t-3)}
  • Y por tanto, nuestra solución es: q(t)=2[\frac{1}{5}-\frac{1}{5}e^{-5(t-3)}] \mathcal{U}(t-3)
  • o bien q(t)=\frac{2}{5}\mathcal{U}(t-3)-\frac{2}{5}e^{-5(t-3)} \mathcal{U}(t-3).

Compartimos el archivo traslaciont1.ggb (de GeoGebra) para visualizar el problema, conforme se indica en la siguiente gráfica, generada por el archivo anterior:

Visualización de carga y corriente resultante

Nota: Las referencias L#<num> corresponden a los números de las fórmulas en la tabla de transformadas de Laplace en el libro de Zill 9/e.

Propiedades de traslación para transformadas de Laplace

Los siguientes teoremas son muy útiles para resolver ciertos PVI mediante transformada de Laplace:

  1. [traslación en el eje s] Si \mathcal{L}\{ f(t) \}=F(s)  y a \in \mathbb{R}, entonces \mathcal{L}\{e^{at} f(t) \}=F(s-a). Para este caso usamos la notación: \mathcal{L}\{e^{at} f(t) \}=\mathcal{L}\{ f(t) \} |_{s \rightarrow s-a}
  2. [forma inversa de la traslación en el eje s] \mathcal{L}^{-1}\{ F(s-a) \}=\mathcal{L}^{-1}\{ F(s) \} |_{s \rightarrow s-a}=e^{at} f(t)
  3. [traslación en el eje t] Si F(s)=\mathcal{L} \{ f(t) \} y a>0, entonces \mathcal{L} \{ f(t-a) \;\mathcal{U}(t-a) \}=e^{-as}F(s). También podemos escribir de manera alternativa: \mathcal{L} \{g(t) \;\mathcal{U}(t-a) \}=e^{-as}\mathcal{L} \{g(t+a) \}
  4. [forma inversa de la traslación en el eje t] Si f(t)=\mathcal{L}^{-1} \{ F(s) \} y a>0, entonces \mathcal{L}^{-1} \{ e^{-as}F(s) \}=f(t-a) \;\mathcal{U}(t-a)

Veamos un ejemplo para cada uno de los casos anteriores:

  1. \mathcal{L}\{ e^{-3t} t^2 \} = (L#50) \mathcal{L}\{ t^2 \} |_{s \rightarrow s+3}= (L#3) \frac{2}{s^3} |_{s \rightarrow s+3} = \frac{2}{(s+3)^3} \star
  2. \mathcal{L}^{-1}\{ \frac{s-2}{(s-2)^2+1} \}=\mathcal{L}^{-1} \{ \frac{s}{s^2+1}\} |_{s \rightarrow s-2} = (L#50) e^{2t} \mathcal{L}^{-1} \{ \frac{s}{s^2+1}\} = (L#8) e^{2t} cost \star
  3. \mathcal{L} \{ e^{-2t} \mathcal{U}(t-5) \} = (L#53) e^{-5s} \mathcal{L} \{ e^{-2(t+5)} \} = e^{-5s} \mathcal{L} \{ e^{-2t} e^{-10}\} = e^{-5s-10} \mathcal{L} \{ e^{-2t} \} \\ \quad =(L#11)e^{-5s-10}\frac{1}{s+2} = e^{-10} \displaystyle \frac{e^{-5s}}{s+2}\star
  4. \mathcal{L}^{-1}\{ e^{-5s}\frac{2}{s^2+4} \}= (L#52) \mathcal{L}^{-1}\{ \frac{2}{s^2+4} \} |_{t \rightarrow t-5} \mathcal{U}(t-5) = (L#7) sen(2t) |_{t \rightarrow t-5}\mathcal{U}(t-5) \\ \quad = sen(2(t-5)) \mathcal{U}(t-5) = sen(2t-10) \mathcal{U}(t-5)\star

Compartimos el archivo traslacioneslap.wxm (de WxMaxima) como ejemplo del potencial de este excelente software de cómputo numérico-simbólico.

Nota: Las referencias L#<num> corresponden a los números de las fórmulas en la tabla de transformadas de Laplace en el libro de Zill 9/e.

Solución de un PVI mediante Laplace

Problema de Valor Inicial: y''-6y'+9y=t, y(0)=0, y'(0)=1 (ver #25, p. 219 Zill 9/e)

Solución mediante transformada de Laplace [ver artículo en Wikipedia]:

  1. Por las propiedades de linealidad: \mathcal{L}\{y''\}-6\mathcal{L}\{y'\}+9Y(s)=\frac{1}{s^2}
  2. Por la transformada de Laplace de derivadas: s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)-6\left[ sY(s)-y(0)\right] +9Y(s)=\frac{1}{s^2}
  3. Aplicamos las condiciones iniciales: Y(s)\left[ s^2-6S+9\right] -1=\frac{1}{s^2}
  4. De donde Y(s)=\frac{1+1/s^2}{s^2-6S+9}=\frac{s^2+1}{s^2(s-3)^2}
  5. Descomponemos en fracciones parciales: Y(s)=\frac{As+B}{s^2}+\frac{C}{s-3}+\frac{D}{\left( s-3 \right) ^2}
  6. Por lo cual: s^2+1=\left( As+B \right) \left( s-3 \right) ^2+Cs^2 \left( s-3 \right) +Ds^2
  7. Para s=0 obtenemos: 1=9B de donde B=\frac{1}{9}
  8. Para s=3 obtenemos: 10=9D por lo cual D=\frac{10}{9}
  9. Con s=1 y s=-1 obtenemos dos ecuaciones \frac{1}{9}=A-\frac{1}{2}C y -\frac{1}{18}=-A-\frac{1}{4}C las cuales resolvemos fácilmente por eliminación, para obtener: C=-\frac{2}{27} y A=\frac{2}{27}
  10. Por lo anterior Y(s)=\left( \frac{2}{27}s+\frac{1}{9}\right)\frac{1}{s^2}-\frac{2}{27}\frac{1}{s-3}+\frac{10}{9}\frac{1}{\left( s-3 \right)^2}
  11. Y entonces \mathcal{L}^{-1} \{ Y(s) \} =\frac{2}{27}\mathcal{L}^{-1} \{ \frac{1}{s} \} +\frac{1}{9}\mathcal{L}^{-1} \{ \frac{1}{s^2}\} -\frac{2}{27}\mathcal{L}^{-1} \{ \frac{1}{s} \| _{s \to s-3} \} \\ \quad+\frac{10}{9}\mathcal{L}^{-1} \{ \frac{1}{s^2} \| _{s \to s-3} \}
  12. Por lo cual: y(t)=\frac{2}{27}\cdot 1+\frac{1}{9}\cdot t-\frac{2}{27}e^{3t}\cdot 1+\frac{10}{9}e^{3t}\cdot t
  13. Que reescribimos como: y(t)=\frac{2}{27}+\frac{t}{9}-\frac{2}{27}e^{3t}+\frac{10}{9}te^{3t}

Se recomienda reconstruir a mano por su cuenta los pasos anteriores, después utilizar WxMaxima para ejercitarse con dicha herramienta (y automatizar parte del proceso) para finalmente visualizar en GeoGebra que la solución cumple con el PVI dado.

Función escalón unitario

[rev. 2013.05.02]

La función escalón unitario \mathcal{U}(t-a) (denotada como \mathcal{U}_a(t)),  llamada también función de Heaviside, nos permite activar o desactivar cierta funcionalidad en términos de un parámetro a. Entre otras cosas, ayuda a definir directamente una función definida a tramos. Como referencia le invitamos a explorar el artículo Heaviside step function [Wikipedia].

Nota. Sea W_{a,b}(t)=\mathcal{U}_a(t)-\mathcal{U}_b(t)). Observamos que W_{a,b}(t)=1 en el intervalo [a,b) y 0 fuera del mismo. Por lo tanto si tenemos la función:

f(t)=\begin{Bmatrix}{ f_i(t)}&\mbox{ si } & a_i\leq t < b_i \mbox{ para }i=1,2,\ldots ,n\\0 & \mbox{ } & \mbox{ en otro caso}\end{matrix}

podemos escribir sencillamente: f(t)=\sum_{i=1}^n{f_i(t)W_{a_i,b_i}} y luego simplificar de ser necesario.

Compartimos el archivo eunitario.ggb [para GeoGebra] que ayuda a visualizar su efecto al combinarlo con diversas funciones.

Sugerencia: en el archivo de GeoGebra, active sucesivamente las funciones p(t), q(t), r(t) y s(t) para ir visualizando el efecto de las funciones escalón unitario, \mathcal{U}(t-a) y \mathcal{U}(t-b), en forma individual y en combinación.