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Resortes acoplados y solución en WxMaxima

El siguiente sistema de ecuaciones representa el comportamiento de dos resortes acoplados verticalmente (ver pp. 296-297 [Zill 2009]):

     \begin{align*} \ddot{x_1}+10x_1-4x_2 &= 0 \\ -4x_1+\ddot{x_2}+4x_2 &= 0 \end{align*}

con condiciones iniciales: x_1(0)=0,\; x_1'(0)=1,\; x_2(0)=0,\; x_2'(0)=-1

Como ejemplo del uso de WxMaxima para resolver este tipo de problemas, presentamos  las instrucciones básicas para su solución (ver archivo resuelveode2.wxm)

Evaluando estas instrucciones contenidas en el archivo anterior (con Ctrl-R, en WxMaxima), obtenemos la solución:

     \begin{align*} x_1(t) &= \frac{\sqrt{3}}{5}sen(2 \sqrt{3} t) - \frac{1}{5 \sqrt{2}}sen(\sqrt{2} t) \\ x_2(t) &= -\frac{\sqrt{3}}{10}sen(2 \sqrt{3} t) - \frac{\sqrt{2}}{5}sen(\sqrt{2} t)\end{align*}

Compartimos el archivo visualizaode2.ggb (para GeoGebra) que nos permite visualizar la solución previamente obtenida.

Gráficas de posiciones de resortes acoplados

Le invitamos también a activar el archivo animaode2.ggb que permite de manera básica simular la dinámica de este sistema:

Resortes acoplados y animación básica

Referencia: [Zill 2009] Dennis G. Zill. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado (9/e) Cengage Learning.


Applet recomendado: Masses & Springs (con audio) PhET Interactive simulations. Univ. of Colorado at Boulder. [acc. 2010.12.11]

Transformaciones lineales y GeoGebra

 Una transformación lineal T: V \rightarrow W del espacio vectorial V con operaciones (+,\cdot) al espacio vectorial W con operaciones (\oplus, \otimes ), es una función que cumple para todo \mathbf{u},\;\mathbf{v} \in V, las siguientes dos propiedades:

  1. T(\mathbf{u}+ \mathbf{v})=T(\mathbf{u}) \oplus T(\mathbf{v})
  2. T(\alpha \cdot \mathbf{v})=\alpha \otimes T(\mathbf{v})

Observación: cuando las operaciones son estándares, utilizamos por convención la notación sencilla de + y \cdot\;\; para la suma de vectores y multiplicación escalar por vector respectivamente, en otros casos es necesario definir claramente las cuatro operaciones implicadas.

Ejemplo: Consideremos a T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 definida por:

    \[ T(x,y)=(x+ay,y) \]

para un valor arbitrario a \in \mathbb{R}. Veamos si cumple las dos condiciones mencionadas:

  1.     \begin{align*} T((x_1,y_1)+(x_2,y_2)) &= T(x_1+x_2,y_1+y_2)  \\ &= (x_1+x_2 + a(y_1+y_2),y_1+y_2) \\ &=(x_1+a y_1 + x_2 + a y_2, y_1 + y_2) \\ &=( x_1+a y_1, y_1) + (x_2 + a y_2, y_2) \\ &= T(x_1,y_1 ) + T(x_2,y_2) \end{align*}

  2.     \begin{align*} T(\alpha (x,y)) &=T(\alpha x, \alpha y) \\ &= (\alpha x + a \alpha y, \alpha y) \\ &= \alpha (x + a y, y) \\ &= \alpha T(x,y) \end{align*}

Ya que cumple ambas propiedades, la transformación T anterior es lineal.

Una forma equivalente de aplicar una transformación T es mediante su matriz de trasformación A_T, que en este caso es: \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, es decir:

    \[ \begin{pmatrix} x+ay \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]

Compartimos el archivo shear1.ggb (de GeoGebra) que ilustra la transformación lineal “shear” (corte) a lo largo del eje-x.

Ejemplo de “shear” en el eje-x

Para el caso de \mathbb{R}^2, se le invita a explorar en GeoGebra las diferentes transformaciones disponibles en su versión 4.0 : desliza, refleja, rota, corte [homotecia], estira y traslada (en ingl. dilate, reflect, rotate, shear, stretch, translate). Felicitamos a los desarrolladores de GeoGebra, por tan excelente producto.

Ejemplo de PVI con traslación en el tiempo

Un circuito eléctrico sencillo RC se puede modelar con la ecuación diferencial: R\frac{dq}{dt}+\frac{1}{C}q=E(t). Resolvamos el PVI siguiente, mediante transformadas de Laplace, el caso cuando: q(0)=0, R=2.5 \Omega, C=0.08\;f, y E(t)=5 \mathcal{U}(t-3). Observe que el voltaje tiene una traslación en el tiempo.

  • Con L#54 para n=2, obtenemos:
  • \mathcal{L}\{ 2.5 \frac{dq}{dt}+\frac{1}{0.08}q\}=2.5[sQ(s)-q(0)]+\frac{100}{8}Q(s), que factorizando se simplifica a Q(s)[\frac{5}{2}(s+5)].
  • Por otra parte \mathcal{L}\{ 5\mathcal{U}(t-3) \}=\frac{5}{s}e^{-3s} (por la fórmula L#51)
  • Igualando ambos resultados obtenemos:
  • Q(s)[\frac{5}{2}(s+5)]=\frac{5}{s}e^{-3s}, de donde obtenemos (con un paso de simplificación) que
  • Q(s)=\displaystyle \frac{2e^{-3s}}{s(s+5)}.
  • Ahora para obtener q(t) aplicamos la transformada inversa (usando la fórmula L#52)
  • q(t)=\mathcal{L}^{-1}\{ \displaystyle \frac{2e^{-3s}}{s(s+5)} \}=2f(t-3)\mathcal{U}(t-3), con f(t-3)=\mathcal{L}^{-1}\{ \frac{1}{s(s+5)}\} |_{t \rightarrow t-3} que (por la fórmula L#28) es igual a \displaystyle \frac{e^0-e^{-5t}}{0+5} |_{t \rightarrow t-3}, es decir f(t-3)=\frac{1}{5}-\frac{1}{5}e^{-5(t-3)}
  • Y por tanto, nuestra solución es: q(t)=2[\frac{1}{5}-\frac{1}{5}e^{-5(t-3)}] \mathcal{U}(t-3)
  • o bien q(t)=\frac{2}{5}\mathcal{U}(t-3)-\frac{2}{5}e^{-5(t-3)} \mathcal{U}(t-3).

Compartimos el archivo traslaciont1.ggb (de GeoGebra) para visualizar el problema, conforme se indica en la siguiente gráfica, generada por el archivo anterior:

Visualización de carga y corriente resultante

Nota: Las referencias L#<num> corresponden a los números de las fórmulas en la tabla de transformadas de Laplace en el libro de Zill 9/e.

Cambio de base en la representación de un vector

Supongamos que tenemos el vector \mathbf{u}_w=\binom{2}{2} representado en la base B_1=\{ \mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2\} donde \mathbf{w}_1 = \binom{1}{0} y \mathbf{w}_2 = \binom{0}{1}. Para representar dicho vector \mathbf{u}_w en una nueva base, por ejemplo B_2=\{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\} donde \mathbf{v}_1 = \binom{-1}{-1} y \mathbf{v}_2 = \binom{-1}{1}, lo que hacemos es crear una matriz de transición T cuyas columnas corresponden a la representación de los vectores de la base B_1 en términos de la nueva base B_2. Es decir, determinamos \alpha_1, \beta_1, \alpha_2, \beta_2 tal que:

\mathbf{w}_1 = \alpha_1 \mathbf{v}_1 + \beta_1 \mathbf{v}_2

\mathbf{w}_2 = \alpha_2 \mathbf{v}_1 + \beta_2 \mathbf{v}_2

En este caso (resolviendo los sistemas lineales resultantes) obtenemos: \alpha_1 = -\frac{1}{2}, \beta_1 = -\frac{1}{2}, \alpha_2 = -\frac{1}{2} y \beta_2 = \frac{1}{2}, es decir: T=\binom{\alpha_1 \quad \alpha_2}{\beta_1 \quad \beta_2}=\binom{-0.5 \quad -0.5}{-0.5 \quad 0.5}. Puede argumentarse formalmente también que T=(\mathbf{w}_1 \quad \mathbf{w}_2)^{-1}(\mathbf{v}_1\quad \mathbf{v}_2).

Para obtener la nueva representación, sencillamente hacemos el producto T \mathbf{u}_w para obtener \mathbf{u}_v=\binom{-2}{0}.

Compartimos el archivo transicion.ggb (de GeoGebra) para experimentar en 2D este tipo de conversión.

Figura generada por transicion.ggb

Subespacios de un espacio vectorial

Dado un subconjunto H de un espacio vectorial V con operaciones asociadas, podemos determinar si H es en sí mismo un espacio vectorial (es decir un subespacio vectorial) de V si es que se cumplen los dos axiomas de cerradura.

  • [cerradura bajo la suma de vectores] \forall x,y \in H, se cumple x \oplus y \in H
  • [cerradura bajo la multiplicación por escalar] Si x \in H, y \alpha es un escalar, entonces \alpha \otimes x \in H.

Ejemplo 1: Sea V un plano en \mathbb{R}^3 que pasa por el origen, con las operaciones normales de vectores en \mathbb{R}^3, entonces cualquier recta H que pasa por el origen y que es subconjunto de dicho plano, es un subespacio vectorial de V. ¿Podría justificar lo anterior aplicando la suma normal de vectores en \mathbb{R}^3 y la multiplicación por escalares del campo \mathbb{R}? (compartimos el archivo subespacios.rkt que genera la siguiente figura, que bajo DrRacket puede mover con el mouse)

Figura generada con Plot (de DrRacket) versión 5.2

Ejemplo 2: Si V=\mathbb{R}^2 y H={(x,y): x^2+y^3<1}. ¿Se cumple que H es un subespacio vectorial de V?. Resp.  Podemos argumentar que no es un subespacio vectorial porque no cumple los axiomas de cerradura, en particular: sea x=\frac{1}{2} e y=\frac{1}{2}, se cumple que x^2+y^3=\frac{1}{2}^2+\frac{1}{2}^3<1, pero 2(x,y)=(2x,2y)=(1,1) no cumple la segunda cerradura, ya que 1^2+1^3\not < 1. Puede explorar el archivo nosubespacio.ggb que genera la siguiente figura.

Figura generada con GeoGebra 4

Método de Romberg

Uno de los métodos más interesantes de integración numérica es el método de Romberg. En este caso no se requiere indicar como parámetro el número de los subintervalos o la longitud h  de cada subintervalo. Este método opera de manera recursiva realizando tantas subdivisiones como sea necesario del subintervalo original [a,b] hasta obtener la exactitud \epsilon buscada. La estrategia consiste en aplicar una combinación de la regla del trapecio y la extrapolación de Richardson, a particiones sucesivas del intervalo [a,b]

Compartimos el archivo romberg.scm que implementa de manera básica (sin optimizaciones) este método. Por ejemplo, para calcular \int_2^5 (\frac{1}{1-x}+\frac{5}{lnx}+\frac{1}{8}sin(10x))dx usando \epsilon = 10^{-8}, usamos el siguiente código:

(r (1 : 1) 13.727206765306258)
(r (2 : 2) 11.651045922540662)
(r (3 : 3) 11.53126127609862)
(r (4 : 4) 11.584473332128743)
(r (5 : 5) 11.55074252580743)
(r (6 : 6) 11.553939909441697)
(r (7 : 7) 11.553866831518363)
11.553867238872222

Figura generada por ejemplo-intf.ggb

Si gusta puede comparar este resultado, con el obtenido en el archivo ejemplo-int1f.ggb (de GeoGebra) que coincide en nueve cifras decimales.

Solución de un PVI mediante Laplace

Problema de Valor Inicial: y''-6y'+9y=t, y(0)=0, y'(0)=1 (ver #25, p. 219 Zill 9/e)

Solución mediante transformada de Laplace [ver artículo en Wikipedia]:

  1. Por las propiedades de linealidad: \mathcal{L}\{y''\}-6\mathcal{L}\{y'\}+9Y(s)=\frac{1}{s^2}
  2. Por la transformada de Laplace de derivadas: s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)-6\left[ sY(s)-y(0)\right] +9Y(s)=\frac{1}{s^2}
  3. Aplicamos las condiciones iniciales: Y(s)\left[ s^2-6S+9\right] -1=\frac{1}{s^2}
  4. De donde Y(s)=\frac{1+1/s^2}{s^2-6S+9}=\frac{s^2+1}{s^2(s-3)^2}
  5. Descomponemos en fracciones parciales: Y(s)=\frac{As+B}{s^2}+\frac{C}{s-3}+\frac{D}{\left( s-3 \right) ^2}
  6. Por lo cual: s^2+1=\left( As+B \right) \left( s-3 \right) ^2+Cs^2 \left( s-3 \right) +Ds^2
  7. Para s=0 obtenemos: 1=9B de donde B=\frac{1}{9}
  8. Para s=3 obtenemos: 10=9D por lo cual D=\frac{10}{9}
  9. Con s=1 y s=-1 obtenemos dos ecuaciones \frac{1}{9}=A-\frac{1}{2}C y -\frac{1}{18}=-A-\frac{1}{4}C las cuales resolvemos fácilmente por eliminación, para obtener: C=-\frac{2}{27} y A=\frac{2}{27}
  10. Por lo anterior Y(s)=\left( \frac{2}{27}s+\frac{1}{9}\right)\frac{1}{s^2}-\frac{2}{27}\frac{1}{s-3}+\frac{10}{9}\frac{1}{\left( s-3 \right)^2}
  11. Y entonces \mathcal{L}^{-1} \{ Y(s) \} =\frac{2}{27}\mathcal{L}^{-1} \{ \frac{1}{s} \} +\frac{1}{9}\mathcal{L}^{-1} \{ \frac{1}{s^2}\} -\frac{2}{27}\mathcal{L}^{-1} \{ \frac{1}{s} \| _{s \to s-3} \} \\ \quad+\frac{10}{9}\mathcal{L}^{-1} \{ \frac{1}{s^2} \| _{s \to s-3} \}
  12. Por lo cual: y(t)=\frac{2}{27}\cdot 1+\frac{1}{9}\cdot t-\frac{2}{27}e^{3t}\cdot 1+\frac{10}{9}e^{3t}\cdot t
  13. Que reescribimos como: y(t)=\frac{2}{27}+\frac{t}{9}-\frac{2}{27}e^{3t}+\frac{10}{9}te^{3t}

Se recomienda reconstruir a mano por su cuenta los pasos anteriores, después utilizar WxMaxima para ejercitarse con dicha herramienta (y automatizar parte del proceso) para finalmente visualizar en GeoGebra que la solución cumple con el PVI dado.

Función escalón unitario

[rev. 2013.05.02]

La función escalón unitario \mathcal{U}(t-a) (denotada como \mathcal{U}_a(t)),  llamada también función de Heaviside, nos permite activar o desactivar cierta funcionalidad en términos de un parámetro a. Entre otras cosas, ayuda a definir directamente una función definida a tramos. Como referencia le invitamos a explorar el artículo Heaviside step function [Wikipedia].

Nota. Sea W_{a,b}(t)=\mathcal{U}_a(t)-\mathcal{U}_b(t)). Observamos que W_{a,b}(t)=1 en el intervalo [a,b) y 0 fuera del mismo. Por lo tanto si tenemos la función:

f(t)=\begin{Bmatrix}{ f_i(t)}&\mbox{ si } & a_i\leq t < b_i \mbox{ para }i=1,2,\ldots ,n\\0 & \mbox{ } & \mbox{ en otro caso}\end{matrix}

podemos escribir sencillamente: f(t)=\sum_{i=1}^n{f_i(t)W_{a_i,b_i}} y luego simplificar de ser necesario.

Compartimos el archivo eunitario.ggb [para GeoGebra] que ayuda a visualizar su efecto al combinarlo con diversas funciones.

Sugerencia: en el archivo de GeoGebra, active sucesivamente las funciones p(t), q(t), r(t) y s(t) para ir visualizando el efecto de las funciones escalón unitario, \mathcal{U}(t-a) y \mathcal{U}(t-b), en forma individual y en combinación.

Potencias y raíces de números complejos

Dado un número complejo en su forma polar z=re^{i\theta}, podemos calcular la potencia y raices n-ésimas mediante:

z^n=r^ne^{i\theta n}

z^{1/n}=r^{1/n}exp\{i(\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi k}{n})\} para k=0,1,\dots ,n-1

Bajo GeoGebra podemos definir los ángulos asociados a las raíces mediante el comando iterationList[] con los argumentos x+\frac{2 \pi}{n}, \frac{\theta}{n} y n-1. La siguiente figura ilustra las potencias de un número complejo (ver archivo potencias.ggb)

Figura generada por potencias.ggb

Visualizamos también las raíces mediante el archivo raices.ggb , que genera la siguiente figura:

Figura generada con raices.ggb

Referencias selectas: